[論文レビュー] On Parabolic Subgroups and Hecke Algebras of Some Fractal Groups

Laurent Bartholdi, Rostislav Grigorchuk|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 1999

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、フラクタルな分岐群における放物部分群を導入し、それらが弱く最大であり、有限次元表現によって近似可能な非可約な擬正則表現をもたらすことを証明する。主な貢献は、関連するヘッケ代数が可換であることを示したことにより、有限次元の擬正則表現の完全分解が二重コセットを用いて可能になることである。さらに、中間的成長を示す、初のトーショントラス・フリー分岐単純無限群の構成も行われる。

ABSTRACT

We study the subgroup structure, Hecke algebras, quasi-regular representations, and asymptotic properties of some fractal groups of branch type. We introduce parabolic subgroups, show that they are weakly maximal, and that the corresponding quasi-regular representations are irreducible. These (infinite-dimensional) representations are approximated by finite-dimensional quasi-regular representations. The Hecke algebras associated to these parabolic subgroups are commutative, so the decomposition in irreducible components of the finite quasi-regular representations is given by the double cosets of the parabolic subgroup. Since our results derive from considerations on finite-index subgroups, they also hold for the profinite completions $\hat G$ of the groups G. The representations involved have interesting spectral properties investigated in math.GR/9910102. This paper serves as a group-theoretic counterpart to the studies in the mentionned paper. We study more carefully a few examples of fractal groups, and in doing so exhibit the first example of a torsion-free branch just-infinite group. We also produce a new example of branch just-infinite group of intermediate growth, and provide for it an L-type presentation by generators and relators.

研究の動機と目的

• フラクタルな分岐型群の部分群構造、特に根付き木における無限路の安定化子として生じる放物部分群を調査すること。
• これらの放物部分群に関連する擬正則表現を分析し、その非可約性および有限次元表現による近似可能性を特定すること。
• 放物部分群に付随するヘッケ代数の構造を研究し、可換性を確立することで、有限次元の擬正則表現の分解を可能にすること。
• 新たな分岐群の例、特に初のトーショントラス・フリー分岐単純無限群および中間的成長の新規例の構成。
• 群のプロファイント完備化への結果の拡張およびスペクトル性質やゲルファンド対との関連の確立。

提案手法

• 群が作用する正則根付き木における境界点または無限ジオデシック路の安定化子として放物部分群を定義する。
• 無限次元の擬正則表現 $\rho_{G/P}$ を、有限次元の表現 $\rho_{G/P_n}$ によって近似するため、$P = \bigcap_{n} P_n$ とし、$P_n$ を長さ $n$ の有限路の安定化子とする。
• 次の代数の直和成分であることを示し、次元の差が小さい（$d-1 < 4$）ことから、ヘッケ代数 $\mathcal{L}(G, P_n)$ がアーベル的であることを証明する。これにより、半単純性と可換性が導かれる。
• ゲルファンド対の基準を適用する：$\mathcal{L}(G, P_n)$ がアーベル的であるため、対 $(G, P_n)$ はゲルファンド対であり、$\rho_{G/P_n}$ のすべての非可約成分が重複度1であることが保証される。
• 二重コセット $P_n g P_n$ の数を用いてヘッケ代数の次元を計算し、これにより $\rho_{G/P_n}$ の非可約成分の数を特定する。
• 具体的な表示を構成する。特に、中間的成長を示す新しい分岐群の $L$-型表示を提示し、$n$ に関する帰納法を用いて軌道構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタルな分岐群の放物部分群は弱く最大的であり、それに対応する擬正則表現は非可約的か？
• RQ2 放物部分群に対して定義されるヘッケ代数 $\mathcal{L}(G, P_n)$ の構造は何か？可換的か？
• RQ3 有限次元の擬正則表現 $\rho_{G/P_n}$ は完全に非可約成分に分解可能か？これは二重コセットとどのように関係するか？
• RQ4 トーショントラス・フリー分岐単純無限群は存在するか？このような群が中間的成長を示すことは可能か？
• RQ5 表現のスペクトル的性質は、特にジュリア集合と関連してフラクタル幾何学とどのように関係するか？

主な発見

• フラクタルな分岐群の放物部分群 $P$ は弱く最大的であり、それに対応する擬正則表現 $\rho_{G/P}$ は非可約的である。
• すべての $n$ に対してヘッケ代数 $\mathcal{L}(G, P_n)$ はアーベル的であり、これにより $\rho_{G/P_n}$ の非可約成分への分解は重複度1であり、二重コセット $P_n g P_n$ の数によって決定される。
• $\rho_{G/P_n}$ の非可約成分の数は、$\mathcal{L}(G, P_n)$ の次元に等しく、群 $\overline{\Gamma}$ に対しては $2n+1$ に等しい。これは $P_n$ が $\Sigma^n$ 上で作用する軌道の数に対応する。
• 表現 $\rho_{G/P_n}$ は $\rho_{G/P_0} \oplus \bigoplus_{i=1}^{d-1} A_{n,i}$ に分解され、各 $A_{n,i}$ は次元 $d^{n-1}$ の非可約表現であり、$d$ は木の次数を表す。
• 本稿では、初のトーショントラス・フリー分岐単純無限群の構成がなされ、中間的成長を示す新しいクラスの群と、新しい $L$-型表示が得られる。
• 結果はプロファイント完備化 $\widehat{G}$ に拡張され、有限次元近似 $\rho_{G/P_n}$ が、二次写像のジュリア集合に関連するスペクトル的性質の研究に用いられる。