[論文レビュー] On Paraconsistent Weakening of Intuitionistic Negation

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、直感主義的否定を弱める手法により、ex falso quodlibet 原理を回避しつつも、主要な構造的性質を保つように変更されたパラコンシステント論理系 mZₙ および mCZₙ を提案する。直感主義的否定をバーゲルの双対性と遺伝的不適合性に基づく分割否定に置き換えることで、クリップケ的意味論を用いてパラコンシステンスを達成し、ダ・コスタのパラコンシステント論理の条件を満たす。

ABSTRACT

In [1], systems of weakening of intuitionistic negation logic called Z_n and CZ_n were developed in the spirit of da Costa's approach(c.f. [2]) by preserving, differently from da Costa, its fundamental properties: antitonicity, inversion and additivity for distributive lattices. However, according to [3], those systems turned out to be not paraconsistent but extensions of intuitionistic logic. Taking into account of this result, we shall here make some observations on the modified systems of Z_n and CZ_n, that are paraconsistent as well.

研究の動機と目的

• Zₙ および CZₙ の初期システムが直感主義論理の拡張に過ぎず、本質的なパラコンシステンスを欠いているという問題に対処する。
• 元のシステムで爆発を可能にする axiomatic ¬1 ⇒ 0 を除去することで、真正のパラコンシステンスを達成する修正システム mZₙ および mCZₙ を開発する。
• 遺伝的不適合性およびバーゲルの双対性に基づく分割否定演算子を定義し、それがダ・コスタの公理 (11) および (12) を満たすことを保証する。
• 分配的ラティスにおけるガロア接続を通じてアクセス関係を再解釈することにより、新しい否定演算子のクリップケ的意味論を確立する。
• 矛盾する前提から自明性が生じるのを防ぎつつ、構成的推論および分配的ラティスの性質を保持するように修正システムを設計する。

提案手法

• 元の Zₙ システムから公理 ¬1 ⇒ 0 を除去することで、ex falso quodlibet の導出を遮断する修正システム mZₙ を導入する。
• 世界の集合 W 上の遺伝的不適合関係 R を用いて、分割否定 λ を定義する。ここで、λ(U) = {w ∈ W | ∀v ∈ U, wRv} となる（U ⊆ W に対して）。
• バーゲルの双対性およびガロア接続を用いて、否定演算子 λ が反単調性、加法性、および遺伝的部分集合における閉包性を満たすことを保証する。
• 代数的およびモデル理論的手法を用いて、再帰的相対化および n-一貫性の伝播を検証することで、修正システム mZₙ がダ・コスタの公理 (11) および (12) を満たすことを証明する。
• mZₙ に乗法的性質 λ(U ∩ V) = λU ∪^OP λV を追加することで、mCZₙ に拡張する。これにより、否定が構成的否定としての性質を示す。
• Galois接続から導かれる不適合関係 R を用いて、mZₙ および mCZₙ のクリップケ意味論を構築する。ここで、¬A の満たされは w ⊨ ¬A と定義され、∀v ∈ W に対して wRv ならば v ⊭ A が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の Zₙ および CZₙ システムは、ex falso quodlibet 原理を回避しつつ真正のパラコンシステンスを達成するように変更可能か？
• RQ2 Zₙ から公理 ¬1 ⇒ 0 を除去することで、ダ・コスタのパラコンシステント条件 (NdC1–NdC4) を満たすシステムが得られるか？
• RQ3 バーゲルの双対性および遺伝的不適合関係に基づく分割否定は、パラコンシステンスと分配的ラティス構造の両方を支える意味論を提供可能か？
• RQ4 mZₙ および mCZₙ の修正された否定演算子におけるクリップケ的意味論は、否定の代数的性質に関して妥当かつ完全か？
• RQ5 ダ・コスタの公理 (11) および (12) が修正システムで導出可能となる条件は何か？また、クリップケ意味論が依然として定義可能となる条件は何か？

主な発見

• 修正システム mZₙ は、ex falso quodlibet のルールを証明しなくなったため、パラコンシステントである。これは、臨界的公理 ¬1 ⇒ 0 が除去されたためである。
• バーゲルの双対性を用いて定義された分割否定 λ は、加法性 λ(U ∪ V) = λU ∩ λV を満たし、ラティス構造と整合性を持つ。
• mZₙ において ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) が証明可能であり、否定が論理和の下で双対演算子として機能することを確認した。
• mZₙ において ¬0 ≡ 1 が導出可能であり、偽の否定が真に相当することを示しており、これはパラコンシステントな意味論と整合的である。
• mZₙ に乗法的性質を追加することで得られるシステム mCZₙ は、対象的法則を満たし、遺伝的部分集合について閉じた構成的否定をサポートする。
• mZₙ および mCZₙ のクリップケ的意味論は、バーゲルの双対性から導かれる不適合関係を用いて定義可能であり、直感主義的クリップケモデルの保存的拡張である。