[論文レビュー] On Parameter Estimation of Threshold Autoregressive Models

Ngai Hang Chan, Yury A. Kutoyants|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続時間の拡散近似と極限尤度比理論を活用して、しきい値自己回帰（TAR）モデルにおけるしきい値パラメータのベイズ推定フレームワークを開発する。ベイズ推定量の一貫性、漸近正規性、モーメント収束を確立し、極限分布を明示的なシミュレーションにより計算可能とすることで、非線形時系列のしきい値に対する頑健な推論を可能にする。

ABSTRACT

This paper studies the threshold estimation of a TAR model when the underlying threshold parameter is a random variable. It is shown that the Bayesian estimator is consistent and its limit distribution is expressed in terms of a limit likelihood ratio. Furthermore, convergence of moments of the estimators is also established. The limit distribution can be computed via explicit simulations from which testing and inference for the threshold parameter can be conducted. The obtained results are illustrated with numerical simulations.

研究の動機と目的

• TARモデルにおけるしきい値パラメータのベイズ推定および最尤推定の一般的漸近理論を構築すること。
• 非標準的漸近的枠組み下で、ベイズ推定量の一致性とモーメント収束を確立すること。
• 合成ポアソン過程を用いた計算可能な方法により、しきい値推定量の極限分布をシミュレートする手法を提供すること。
• 非線形時系列における既存の非標準的漸近的手法を、拡散過程に基づく統一的枠組みへと拡張すること。
• 極限尤度比の明示的シミュレーションを通じて、しきい値パラメータの実用的仮説検定と推論を可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、しきい値自己回帰過程を連続時間の拡散過程としてモデル化し、時系列の不変密度を極限的合成ポアソン過程の強度に関連付ける。
• 極限尤度比を用いてベイズ推定量の極限分布を導出し、その分布は跳躍を支配する合成ポアソン過程に依存する確率過程として表現される。
• 不変密度の積分方程式を解き、極限過程の強度と関連付けることで、極限尤度を明示的に計算する。
• シミュレーションを用いて極限分布を計算し、しきい値推論のための臨界値およびp値の数値的評価を可能にする。
• この手法は片側しきい値設定へと拡張され、正則性条件下で非ガウス型のノイズへ一般化可能である。
• 理論的結果は、特に有限次元分布の収束および一様なモーメント収束に注目した確率過程論に裏打ちされている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TARモデルにおけるしきい値パラメータのベイズ推定量は、非標準的漸近的条件下でも一貫性および漸近正規性を示すことが証明可能か？
• RQ2 実用的推論のために、ベイズ推定量の極限分布を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 しきい値推定の文脈において、極限尤度比と極限的合成ポアソン過程の関係は何か？
• RQ4 コンパクトなパrameter集合上で、ベイズ推定量のモーメント収束を一様に確立できるか？
• RQ5 提案手法は非ガウス型誤差分布および片側しきい値モデルへどのように拡張可能か？

主な発見

• ベイズ推定量は一貫性を示し、その極限分布は極限尤度比によって特徴づけられ、シミュレーションにより明示的に計算可能である。
• ベイズ推定量の2次のモーメントの収束が確立され、特異推定問題においては最大尤度推定量の分散よりも小さい極限分散が示された。
• 推定量の極限分布は、しきい値における不変密度に比例する強度 $ \lambda = 2f(\vartheta, \vartheta) $ を持つ合成ポアソン過程から導出される。
• 極限分散がリスクの下界に達することを示すことにより、ベイズ推定量の漸近的効率性が確認され、その下界は $ \mathbb{E}_{\vartheta_0}(\tilde{u})^2 $ として表現される。
• 本手法により実用的推論が可能となり、臨界値およびしきい値検定のp値が極限過程のシミュレーションにより計算可能である。
• フレームワークは非ガウス型のノイズおよび片側しきい値モデルへ一般化可能であり、同様の理論的枠組みから類似の極限分布が導出可能である。