[論文レビュー] On partial sums of normalized q-Bessel functions

Halit Orhan, İbrahim Aktaş|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、適切に正規化された後、ジャクソンの第二および第三の q ベッセル関数を対象として、正規化された q ベッセル関数とその部分和の比の実部に対する鋭い下界を確立する。q 級数の不等式および劣分数的技法を用いて、q と ν に依存する明示的な下界を導出し、単位円板における特殊 q 関数の幾何的関数論に寄与する。

ABSTRACT

In the present investigation our main aim is to give lower bounds for the ratio of some normalized $q$-Bessel functions and their sequences of partial sums. Especially, we consider Jackson's second and third $q$-Bessel functions and we apply one normalization for each of them.

研究の動機と目的

• 正規化された q ベッセル関数とその部分和の列との比に対する下界を確立すること。
• 正規化を用いたジャクソンの第二および第三の q ベッセル関数の幾何的性質を分析すること。
• 解析関数の部分和に関する既存の結果を q 特殊関数の設定に拡張すること。
• q ベッセル関数の文脈における単調性および星型関数に関連する比に対する定量的推定値を提供すること。

提案手法

• ジャクソンの第二および第三の q ベッセル関数を、f(0)=0 および f′(0)=1 を満たす解析関数の族 𝒜 に属するように正規化する。
• 係数を支配するために、(q;q)_n および (q^{ν+1};q)_n を含む q 級数の不等式を適用する。
• 三角不等式および幾何級数の推定を用いて、正規化された関数のモジュラスおよび微分の上界を求める。
• 補助関数 ψ(z) および ρ(z) を構成することで劣分数的技法を用い、実部の不等式を導出する。
• q および ν に対する特定のパrameter制約の下で、収束する幾何級数との比較により上界を導出する。
• 第三の q ベッセル関数に対しては条件 (1−q)(1−q^ν) > √q を、第二の関数に対しては 4(1−q)(1−q^ν) > q^ν を満たすことで、収束性および正の性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された q ベッセル関数とその部分和の比の実部に対する鋭い下界は何か？
• RQ2 q 級数の不等式の下で、正規化された q ベッセル関数の係数はどのように振る舞うか？
• RQ3 パrameter (q, ν) がどのような条件下で導出された下界が有効かつ非自明となるか？
• RQ4 劣分数的技法は、q 特殊関数に対して幾何的性質を導出するために効果的に適用可能か？
• RQ5 第二および第三の q ベッセル関数は、それらの異なる q 指数のため、下界がどのように異なっているか？

主な発見

• ジャクソンの第二 q ベッセル関数に関して、部分和の微分と全関数の比の実部は、(1−q)^2(1−q^ν)^2−4(1−q)(1−q^ν)√q+2q を 2(1−q)(1−q^ν)√q−q で割った値より大きい。
• ジャクソンの第三 q ベッセル関数に関して、部分和の微分と全関数の比の実部は、((1−q)(1−q^ν)−√q)^2 を 2(1−q)(1−q^ν)√q−q で割った値より大きい。
• 第二関数に関しては 4(1−q)(1−q^ν) > q^ν、第三関数に関しては (1−q)(1−q^ν) > √q の条件下で導出されており、収束性および正の性質が保証される。
• 正規化された関数のモジュラスおよび微分は、q と ν の有理関数によって上界で抑えられており、具体的には |h_ν^{(2)}(z;q)| ≤ 4(1−q)(1−q^ν)/(4(1−q)(1−q^ν)−q^ν) が成り立つ。
• 微分の上界は、モジュラスの上界の二乗であるため、関数の成長に対して2次的な依存関係があることが示唆される。
• 結果は ν > −1 および q ∈ (0,1) に対して有効であり、q 特殊関数の標準的な定義域をカバーする。