[論文レビュー] On Path diagrams and Stirling permutations

Markus Kuba, Anna Varvak|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、通常の順列における局所的タイプ（ピーク、ボウル、二重上昇、二重下降）を$k$-Stirling順列へと拡張し、これらと$(k+1)$-分木のノードタイプとの間の全単射を確立する。$k$-Stirling順列の母関数に対して、Łukasiewiczパスから導かれるパス図を用いて分岐連分数表現を導入し、Flajoletの順列用連分数を一般化する。母関数に対して少なくとも3つの異なる分岐連分数展開が得られる。

ABSTRACT

A permutation can be locally classified according to the four local types: peaks, valleys, double rises and double falls. The corresponding classification of binary increasing trees uses four different types of nodes. Flajolet demonstrated the continued fraction representation of the generating function of local types, using a classical bijection between permutations, binary increasing trees, and suitably defined path diagrams induced by Motzkin paths. The aim of this article is to extend the notion of local types from permutations to $k$-Stirling permutations (also known as $k$-multipermutations). We establish a bijection of these local types to node types of $(k+1)$-ary increasing trees. We present a branched continued fraction representation of the generating function of these local types through a bijection with path diagrams induced by Łukasiewicz paths, generalizing the results from permutations to arbitrary $k$-Stirling permutations. We further show that the generating function of ordinary Stirling permutation has at least three branched continued fraction representations, using correspondences between non-standard increasing trees, $k$-Stirling permutations and path diagrams.

研究の動機と目的

• 通常の順列から$k$-Stirling順列へ、局所的タイプ（ピーク、ボウル、二重上昇、二重下降）の概念を一般化すること。
• $k$-Stirling順列における局所的タイプと$(k+1)$-分木のノードタイプとの間の全単射を確立すること。
• $k$-Stirling順列の母関数に対する分岐連分数表現を、Łukasiewiczパスに由来するパス図を用いて導出すること。
• 通常のStirling順列の母関数が、異なる木構造およびパス図対応から、少なくとも3つの異なる分岐連分数展開を有することを示すこと。

提案手法

• $k$-Stirling順列を、$\{1^k, 2^k, \dots, n^k\}$という多重集合の順列として定義し、$i$の2回目の出現の間にある要素がすべて$i$より大きいものとする。これは、$k=1$のときの通常の順列、$k=2$のときのStirling順列を一般化する。
• $k$-Stirling順列と$(k+1)$-分木の間の全単射を、深さ優先走査と辺ラベル付けを用いて確立し、分離壁とノードラベルを用いて多重集合構造を符号化する。
• Łukasiewiczパスに基づくパス図を導入し、ステップは木構築の操作に対応する：上昇ステップ（$a^\ell_j$）と下降ステップ（$b_j$）であり、ステップ選択に対する組合せ的重みを割り当てる可能性関数を導入する。
• 可能性関数$\operatorname{pos}(\cdot)$を定義し、根の上昇ステップに$\binom{\ell+k+2}{k+1}$、内部の上昇ステップに$\binom{\ell+k}{k-1} \cdot (j+1)$、下降ステップに$j+1$を割り当て、生成関数による数え上げを可能にする。
• パス図の構築プロセスを再帰的構造と重み付き遷移に符号化することで、$k$-Stirling順列の母関数に対する分岐連分数を構成する。
• $k$-Stirling順列の母関数に対して、3つの異なる分岐連分数展開を示す。これは、$(k+1)$-分木、非標準的増加木$\mathcal{V}(k)$、および系列に基づく族$\mathcal{U}_{n+1}(k-1)$に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順列の局所的タイプ分類（ピーク、ボウル、二重上昇、二重下降）をどのように$k$-Stirling順列へ一般化できるか？
• RQ2 $k$-Stirling順列における局所的タイプと$(k+1)$-分木のノードタイプとの間の対応関係は何か？
• RQ3 Łukasiewiczパスに基づくパス図を用いて、$k$-Stirling順列の母関数に対する分岐連分数表現を導出できるか？
• RQ4 $k$-Stirling順列の母関数に対して、いくつの異なる分岐連分数展開が存在するのか、そしてそれらの背後にある組合せ的構造は何か？

主な発見

• $k$-Stirling順列と$(k+1)$-分木の間の全単射が確立され、通常の順列と二分木の増加木の間の古典的対応を拡張する。
• $k$-Stirling順列における局所的タイプは、$(k+1)$-分木のノードタイプと双対的に対応し、Flajoletの局所的タイプ分類を一般化する。
• Łukasiewiczパスに由来するパス図と定義された可能性関数を用いて、$k$-Stirling順列の母関数に対する分岐連分数表現が導出される。
• 通常のStirling順列（$k=2$）の母関数は、異なる木構造およびパス図族に対応する少なくとも3つの異なる分岐連分数展開を有する。
• 非標準的増加木族$\mathcal{V}(k)$は、非根ノードの次数-重み生成関数$\varphi(t) = (1-t)^{-(k+2)}$と根の$\vartheta(t) = (1-t)^{-k}$として特徴づけられ、$(k+1)$-Stirling順列および$(k+2)$-分木と双対的である。
• 補題2は、$k$-Stirling順列の母関数に対して、3つの異なる組合せ的族（$(k+1)$-分木、非標準的木$\mathcal{V}(k)$、系列族$\mathcal{U}_{n+1}(k-1)$）から生じる少なくとも3つの異なる分岐連分数展開が存在することを確認する。