[論文レビュー] On pathwise uniqueness for stochastic differential equations driven by stable L\\'evy processes

Nicolas Fournier|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、$\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ における対称および非対称 $\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動される1次元確率微分方程式（SDE）について、ドリフトおよび拡散係数にホルダー連続性および単調性条件を課したもとで、経路ごとの一意性を確立する。$\alpha \in (1,2)$ の場合、ホルダー指数 $(\alpha - \beta)/\alpha$（$\beta = \beta(\alpha, a_-/a_+)$）のもとで経路ごとの一意性が成り立つ。一方、$\alpha \in (0,1)$ の場合、同等のSDE表現が可能となり、より弱い正則性のもとで一意性が保証される。

ABSTRACT

We study a one-dimensional stochastic differential equation driven by a stable L\\'evy process of order $\\alpha$ with drift and diffusion coefficients $b,\\sigma$. When $\\alpha\\in (1,2)$, we investigate pathwise uniqueness for this equation. When $\\alpha\\in (0,1)$, we study another stochastic differential equation, which is equivalent in law, but for which pathwise uniqueness holds under much weaker conditions. We obtain various results, depending on whether $\\alpha\\in (0,1)$ or $\\alpha \\in (1,2)$ and on whether the driving stable process is symmetric or not. Our assumptions involve the regularity and monotonicity of $b$ and $\\sigma$.

研究の動機と目的

• 対称的安定プロセスの既知の結果を拡張するために、$\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ における $\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動される1次元SDEの経路ごとの一意性を調査すること。特に、無限活発性とジャンプを有する駆動過程に注目する。
• 非リプシッツ係数の状況、特に $\alpha \in (1,2)$ の場合に経路ごとの一意性が成立するかという課題に取り組む。この場合、古典的結果は適用されない。
• $\alpha \in (0,1)$ の場合に、法則を保ちつつ、より強い経路ごとの一意性結果が得られる、代替的なSDE表現を導入すること。
• ドリフトおよび拡散係数に線形成長条件を課したもとで、SDEのモーメント推定および弱存在性を確立すること。
• 経路ごとの一意性が成立するための鋭い正則性条件、特にホルダー連続性および単調性を特定すること。既知の対称的安定プロセスの結果を拡張する。

提案手法

• $\alpha \in (1,2)$ の場合、補正付きポアソン測度 $\tilde{N}$ によって駆動される元のSDE（5）を分析し、時間変換表現を用いてモーメント評価および経路ごとの一意性を導出する。
• $\alpha \in (0,1)$ の場合、$[0,\infty) \times \mathbb{R}_* \times \mathbb{R}_*$ 上のポアソン測度 $M$ によって駆動される同等のSDE（6）を導入する。その強度は $ds \nu_{a_-,a_+}^\alpha(dz) du$ であり、ジャンプサイズは $\gamma(x) = \text{sign}(\sigma(x)) |\sigma(x)|^\alpha$ によって変調される。
• 証明は、Levy測度の変換およびジャンプ付き確率積分の道具を用いた $\beta$-モーメント推定 $\mathbb{E}[|X_t - \tilde{X}_t|^\beta] \leq |x - \tilde{x}|^\beta e^{Ct}$ に依存するカップリング論法に基づく。ここで $\beta = \beta(\alpha, a_-/a_+)$ である。
• 時間離散化アプローチを用い、ポアソン過程のジャンプ時刻 $T_k$ に条件づけて、ジャンプ間隔における $X_t$ のモーメントを制御する。
• 条件付きモーメントに対する再帰的評価 $u_k = \mathbb{E}[\sup_{[T_k \land T, T_{k+1} \land T]} |X_t|^\beta \mid \mathcal{G}]$ を用い、$u_{k+1} \leq M_T(1 + u_k)$ を示し、指数的モーメント制御を導く。
• 弱存在性は近似法により確立される。SDEは、$|z| < 1$ におけるジャンプ（拡散部）と $|z| \geq 1$ におけるジャンプ（ジャンプ部）に分解され、後者はランダムな時刻における独立なジャンプの列として扱われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha \in (1,2)$ の場合、ドリフト $b$ および拡散係数 $\sigma$ にどのような正則性条件を課すと、$\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動されるSDEに対して経路ごとの一意性が成立するか？
• RQ2 $\alpha \in (0,1)$ の場合、同等のSDE表現を用いることで、リプシッツより弱い正則性のもとで経路ごとの一意性を確立できるか？
• RQ3 $\alpha \in (1,2)$ の場合、経路ごとの一意性を保証する $\sigma$ の鋭いホルダー指数は何か？また、その値は非対称性 $a_-/a_+$ にどのように依存するか？
• RQ4 初期条件および係数に依存する $\mathbb{E}[\sup_{[0,T]} |X_t|^\beta]$（$\beta < \alpha$）のモーメント推定は、どのように記述できるか？
• RQ5 ドリフト $b$ および拡散係数 $\sigma$ が線形成長を満たし、連続である場合、$\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動されるSDEに対して弱存在性が保証されるか？

主な発見

• $\alpha \in (1,2)$ の場合、$\sigma$ がホルダー連続で指数 $(\alpha - \beta)/\alpha$ を満たし、$b$ および $\sigma$ が線形成長および単調性条件を満たすならば、経路ごとの一意性が成り立つ。ここで $\beta = \beta(\alpha, a_-/a_+)$ である。
• モーメント推定 $\mathbb{E}[|X_t - \tilde{X}_t|^\beta] \leq |x - \tilde{x}|^\beta e^{Ct}$ は、$\beta \in [\alpha - 1, 1]$ であり、$\alpha$ および非対称性 $a_-/a_+$ に依存する。この推定は経路ごとの一意性を示唆する。
• $b$ が定数であり、$(a_+ - a_-)\sigma$ が非減少である場合、$\beta$-モーメントは保存される：$\mathbb{E}[|X_t - \tilde{X}_t|^\beta] = |x - \tilde{x}|^\beta$。これはマルティンゲール型の振る舞いを示している。
• $\alpha \in (0,1)$ の場合、ポアソン測度 $M$ によって駆動される同等のSDE（6）は、$\alpha \in (1,2)$ の場合よりも弱い正則性のもとで経路ごとの一意性を保証する。これはジャンプ強度の構造に起因する。
• ドリフト $b$ および拡散係数 $\sigma$ が連続でかつ線形成長を満たす場合、SDE（5）に対して弱存在性が成り立つ。さらに、任意の $\beta \in (0,\alpha)$ に対して $\mathbb{E}[\sup_{[0,T]} |X_t|^\beta] < \infty$ が成り立つ。
• モーメント推定 $\mathbb{E}[\sup_{[0,T]} |X_t|^\beta] < \infty$ は、ジャンプ区間ごとの条件付きモーメントに対する再帰的評価により確立され、ジャンプ回数に応じて指数関数的にしか増加しない。