[論文レビュー] On Patterns and Languages in 1-11-Representations of Graphs

Biswajit Das, Ramesh Hariharasubramanian|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2026

semigroups and automata theory被引用数 0

ひとこと要約

tldr: The paper analyzes cube-free and square-free properties in 1-11 representations of graphs, shows cubes may be unavoidable in minimum-length representations, but are removable in permutational 1-11 representations, and proves regularity of the representation languages.

ABSTRACT

A 1-11-representation of a graph $G(V,E)$ is a word over the alphabet $V$ such that two distinct vertices $x$ and $y$ are adjacent if and only if the restricted word $w{x,y}$ (obtained from $w$ by deleting all letters except $x$ and $y$) contains at most one occurrence of $xx$ or $yy$. Although every graph admits a 1-11-representation, the repetition patterns that may or must appear in such representations have not been fully studied. In this paper, we study cube-free and square-free 1-11-representations of graphs. We first show that cubes cannot always be avoided in 1-11-representations of minimum length by providing a graph for which every minimum-length 1-11-representation necessarily contains a cube. We then focus on permutational 1-11-representations, where the representing word is a concatenation of permutations of the vertex set. In this setting, we prove that any cube appearing in a permutational 1-11-representation can be removed without changing the represented graph. As a consequence, every permutational 1-11-representation attaining the permutational 1-11-representation number is cube-free. We further show that this behaviour does not extend to squares by providing a graph for which every permutational 1-11-representation with the minimum number of permutations necessarily contains a square. Finally, we prove that the language of all 1-11-representations of a given graph is regular. Moreover, we show that the language of all permutational 1-11-representations of a graph is also regular.

研究の動機と目的

• 目的: グラフを語でエンコードする動機づけと、1-11 表現における繰り返しパターンの理解。
• 目的: 最小長でも立方体を避けられないかを検討。
• 目的: 置換ベースの表現を特徴づけ、それらが立方体を避けられるかを評価。
• 目的: formal-language の性質を確立し、すべての 1-11 表現集合（および置換的表現集合）が正規言語であることを示す。）

提案手法

• 方法: 1-11 表現と置換的 1-11 表現を定義。
• 方法: 最小長で cube-free 表現が存在しない可能性を示す例を構築。
• 方法: 置換的 1-11 表現の任意の立方体は、表現するグラフを変えずに除去できることを証明。
• 方法: すべてのグラフは cube-free な置換的 1-11 表現を持つことを示す。
• 方法: すべての 1-11 表現集合とすべての置換的 1-11 表現集合の言語が正規であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 研究問題: すべてのグラフの最小長の 1-11 表現で立方体を避けられるか。
• RQ2 研究問題: すべてのグラフは cube-free な置換的 1-11 表現で表現できるか。
• RQ3 研究問題: すべての 1-11 表現の言語と置換的 1-11 表現の言語は正規か。
• RQ4 研究問題: 最小長の置換的 1-11 表現のうち、最小の置換数を持つものに必ず立方体が含まれるか。

主な発見

• 主要な発見: 最小長の 1-11 表現に必ず立方体を含むグラフが存在する。
• 任意の置換的 1-11 表現の立方体は除去して cube-free 表現を得られる。
• すべてのグラフは cube-free な置換的 1-11 表現を（ある置換の数で）持つ。
• 最小長の置換的 1-11 表現で、最小の置換数を持つものには必ず立方体が含まれるグラフがある。
• 置換表現数 k を持つグラフについて、グラフを表す k 個の置換の語は cube-free である。
• すべての 1-11 表現の言語とすべての置換的 1-11 表現の言語は正規である。