[論文レビュー] On perfect order subsets in finite groups

Nguyen Trong Tuan, Bui Xuan Hai|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、すべての $ n \geq 4 $ に対して、対称群 $ S_n $ は完全順序部分集合を持つ群（POS群）ではないことを証明している。これは、$ S_n $ の任意の与えられた順序の元の数が $ |S_n| = n! $ を割り切らないことを意味する。証明は、特定の順序の元の組み合わせ的数え上げと、ウィルソンの定理やベルトランの補題といった数論的道具を用いて、$ S_n $ がPOS群であると仮定した場合の矛盾を導出する。

ABSTRACT

If $G$ is a finite group and $x\in G$ then the set of all elements of $G$ having the same order as $x$ is called {\em an order subset of $G$ determined by $x$} (see [2]). We say that $G$ is a {\em group with perfect order subsets} or briefly, $G$ is a {\em $POS$-group} if the number of elements in each order subset of $G$ is a divisor of $|G|$. In this paper we prove that for any $n\geq 4$, the symmetric group $S_n$ is not $POS$-group. This gives the positive answer to one of two questions rising from Conjecture 5.2 in [3].

研究の動機と目的

• 文献[3]の予想5.2を解決すること。この予想は、$ A_n $ および $ S_n $ が $ n \geq 4 $ のときPOS群でないというものである。
• 既知の結果（[1] より $ A_n $ がPOS群でないこと）を対称群 $ S_n $ に拡張すること。
• 対称群が完全順序部分集合性を満たすかどうかの完全な分類を確立すること。
• $ n \geq 4 $ のとき、$ S_n $ の与えられた順序の元の数が $ n! $ を割り切らないこと、つまりPOS群の条件を満たさないことを示すこと。

提案手法

• 奇素数 $ p $ に対して、$ S_n $ の順序 $ p $ の元の数を、多項係数と巡回型分解を用いて数える。
• ウィルソンの定理を適用して、素数 $ p $ での連続整数の積、特に $ (p-1)! $ および $ (2p-1)! $ のような式を簡略化する。
• ベルトランの補題を用いて、$ n \geq 8 $ のとき、区間 $ (n/4, n/2) $ に素数 $ p $ が存在することを保証し、$ n = 2p + r $、$ n = 3p + r $、または $ n = 4p $ の場合分けを可能にする。
• 与えられた順序の元の数が $ n! $ で割り切れるかを分析し、モジュラーな矛盾により、その有理数式が整数にならないことを示す。
• 順序 $ p $ の元の数が $ S_n $ に現れる有理数式が、$ S_n $ がPOS群であると仮定した場合に整数にならないことを、背理法により示す。
• $ n $ を4で割った剰余および $ (n/4, n/2) $ 内に素数 $ p $ が存在することに基づく場合分けを用い、問題を取り扱い可能な部分に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ S_n $ はすべての $ n \geq 4 $ に対してPOS群であるか？
• RQ2 POS群が要求するように、$ S_n $ の与えられた順序の元の数が $ n! $ を割り切るか？
• RQ3 $ S_n $ の巡回型の構造を用いて、素数 $ p $ に対する順序 $ p $ の元の数が $ n! $ を割り切らないことを示せるか？
• RQ4 ベルトランの補題は、$ n \geq 4 $ のとき $ S_n $ がPOS群でないことを証明するために果たす役割は何か？
• RQ5 階乗の $ p $ を法とする挙動といった数論的障害（例：$ p $ を法とした階乗の性質）は、$ S_n $ がPOS群でない原因になっているか？

主な発見

• $ n = 4 $ および $ n = 5 $ の場合、$ S_4 $ の順序2の元の数は9、$ S_5 $ では25であり、それぞれ $ 4! = 24 $ や $ 5! = 120 $ を割り切らないため、$ S_4 $ および $ S_5 $ はPOS群でない。
• $ n = 6 $ および $ n = 7 $ の場合、それぞれ $ p = 3 $、$ r = 0 $ および $ p = 3 $、$ r = 1 $ を用いて、補題3.1を適用することで、元の数の非可除性が示される。
• $ n \geq 8 $ の場合、$ n/4 < p < n/2 $ を満たす素数 $ p $ の存在により、$ n = 2p + r $、$ n = 3p + r $、$ n = 4p $ の各ケースに分類され、それぞれに対応する補題で処理される。
• $ n = 4p $ の場合、順序 $ p $ の元の数から得られる有理数式は整数にはなり得ず、ウィルソンの定理とモジュラー算術を用いた背理法により示される。
• 元の数の逆数から得られる式 $ C = \frac{96(p-1)!(p+1)\ldots(2p-1)}{M} $ は、任意の奇素数 $ p $ に対して整数でないため、$ S_n $ がPOS群であるという仮定に矛盾する。
• 本論文は、$ n \geq 4 $ のすべての $ n $ に対して $ S_n $ がPOS群でないことを結論づけ、文献[3]の予想5.2の肯定的解決を完了する。