[論文レビュー] On perpetuities related to the size-biased distributions

Alexander Iksanov|ArXiv.org|Sep 2, 2002

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$A$ と $\eta$ が独立である分布方程式 $\eta_{sb} \overset{d}{=} A\eta_{sb} + \eta$ を通じてサイズバイアス分布に関連する恒続的分布（perpetuity）の存在および一意性に関する必要十分条件を確立する。主な結果は、非退化解が存在するための必要十分条件が $\mathbb{E}[\log A] < 0$ であること、および解がスケールを除いて一意であることである。解析はポアソンショットノイズ変換の不動点に依拠し、解の分布の無限可除性、モーメント条件、および尾部挙動を確立する。

ABSTRACT

We study perpetuities of a special type related to the size-biased distributions. Necessary and sufficient conditions of their existence and uniqueness are obtained. A crucial point in proving all results is a close connection between perpetuities treated in the paper and fixed points of so-called Poisson shot noise transforms.

研究の動機と目的

• 分布方程式 $\eta_{sb} \overset{d}{=} A\eta_{sb} + \eta$ における非退化解の存在および一意性を特徴づけること。ここで $\eta_{sb}$ は $\eta$ のサイズバイアス版である。
• この方程式の解とポアソンショットノイズ変換の不動点との間の関係を確立すること。
• 解の分布が無限可除的であり、かつモーメントまたは指数モーメントが有限であるような条件を同定すること。
• 分布 $A$ の台およびモーメント特性に基づいて、解の分布の尾部挙動を分析すること。

提案手法

• 解析は、$\mathcal{P}_m^+$ 上で定義されるポアソンショットノイズ変換 $\mathbb{U}_{\rho}$ を用いる。この変換は、分布 $\theta$ を $\mathcal{L}(A X_{sb})$ との畳み込みにより新たな測度に写像する。ここで $X_{sb}$ は $X \sim \theta$ のサイズバイアス版である。
• 解の存在は $\mathbb{U}_{\rho}$ の不動点の存在と関連し、$A$ にモーメント条件を課した下で、完備距離空間 $(\mathcal{P}_m^+(q), r_q)$ 内で縮小写像の原理が適用される。
• 距離 $r_q(\nu_1, \nu_2)$ は特性関数の差の積分により定義され、完備性を保証し、収束解析を可能にする。
• 解 $\mu = \mathcal{L}(\eta)$ は、Lévy測度 $M(dx) = x^{-1} \mathcal{L}(A\eta_{sb})(dx)$ を持ち、シフトがゼロである無限可除的分布であり、$x^{-1}\rho(dx)$ が原点近傍で可積分であれば、化合物ポアソン型であることが特徴づけられる。
• 指数モーメントの有限性は条件 $\text{esssup } \rho \leq 1$ により分析され、$\text{esssup } \rho < 1$ ならば、$\mu$ は整関数の特性関数を持つことが示される。
• モーメント問題を用いて、$\mathcal{L}(\eta)$ がそのモーメントによって一意に定まるための必要十分条件は、$A \in (0,1]$ がほとんど確実に成り立つことであることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布方程式 $\eta_{sb} \overset{d}{=} A\eta_{sb} + \eta$ が非退化解 $\eta$ を持つための条件は何か？
• RQ2 解 $\mu = \mathcal{L}(\eta)$ はポアソンショットノイズ変換の不動点とどのように関係しているか？
• RQ3 $A$ に対して、解 $\mu$ が正の順序 $p > 0$ のモーメントを有限に持つための必要十分条件は何か？
• RQ4 解 $\mu$ が有限の指数モーメントまたは整関数の特性関数を持つのはいつか？
• RQ5 解 $\mu$ はそのモーメントによって一意に定まるか？ これは $A$ の分布に何を意味するか？

主な発見

• 非退化解 $\mu = \mathcal{L}(\eta)$ が存在するための必要十分条件は $\mathbb{E}[\log A] < 0$ であり、与えられた平均 $m > 0$ に対して、スケールを除いて解は一意である。
• 解 $\mu$ は、Lévy測度 $M(dx) = x^{-1} \mathcal{L}(A\eta_{sb})(dx)$ を持ち、シフトがゼロである無限可除的分布であり、$x^{-1}\rho(dx)$ が原点近傍で可積分であれば、化合物ポアソン型である。
• $\mathbb{E}[A^p] < 1$ が $p > 0$ のある値で成り立つならば、$\mathbb{E}[\eta^{1+p}] < \infty$ であり、$q \in (1,2)$ かつ $g(q-1) < 1$ の下で、解 $\mu$ は完備距離空間 $(\mathcal{P}_m^+(q), r_q)$ 内で $\mathbb{U}_{\rho}$ の一意な不動点である。
• 解 $\mu$ が有限の指数モーメントを持つのは、$\text{esssup } \rho \leq 1$ のときであり、$\text{esssup } \rho < 1$ ならば $\mu$ は整関数の特性関数を持つ。
• 解 $\mu$ がそのモーメントによって一意に定まるのは、$A \in (0,1]$ がほとんど確実に成り立つときであり、これは $\mathbb{E}[A^p] < 1$ がすべての $p > 0$ で成り立つことと同値である。
• 解 $\mu$ は、モーメントの再帰関係 $\mathbb{E}[\eta^{n+1}] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mathbb{E}[A^k] \mathbb{E}[\eta^{k+1}] \mathbb{E}[\eta^{n-k}]$ を満たし、$\eta$ と $A$ のモーメントを関連付ける。