[論文レビュー] On phylogenetic trees - a geometer's view

Weronika Buczyńska, Jarosław A. Wiśniewski|ArXiv.org|Jan 14, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は代数幾何学的手法を用いて、二進対称3価系統発生樹の幾何学的モデルを調査し、それらが指数4のファノ多様体であり、ゴレンスタイン終身特異点をもち、小さな解消を許容することを示している。主な結果は、同じ葉数を持つすべてのモデルが変形同値であることであり、その結果、ヒルベルト・エールハルト多項式は木の位相構造に依存せず、葉数にのみ依存することが示唆される。

ABSTRACT

We investigate projective varieties which are geometric models of binary symmetric phylogenetic 3-valent trees. We prove that these varieties have Gorenstein terminal singularities (with small resolution) and they are Fano varieties of index 4. Moreover any two such varieties associated to trees with the same number of leaves are deformation equivalent, that is, they are in the same connected component of the Hilbert scheme of the projective space. As an application we provide a simple formula for computing their Hilbert-Ehrhard polynomial.

研究の動機と目的

• 二進対称3価系統発生樹のモデルとして得られる射影多様体の幾何学的・代数的構造を理解すること。
• このような多様体のヒルベルト・エールハルト多項式が、葉数にのみ依存するか、木の位相構造にも依存するかを特定すること。
• これらの幾何学的モデルの変形理論および特異点の性質を調査すること。
• 木の組合せ論とそれに対応する射影多様体の幾何学的性質との関係を明らかにすること。
• 同一の多面体をもつ2つのモデル、あるいは射影的に同値な2つのモデルが、必ずしも木として同型であるかどうかを同定すること。

提案手法

• 木の構造と複素トーラスの作用に基づく格子多面体を用いて、トーリック幾何学的手法により系統発生樹をモデル化する。
• 多面体に付随する反標準埋め込みを用いて、木の幾何学的モデルを射影多様体として構成する。
• 木の多面体のファイバー積公式と、多様体の商公式を用い、木の接合がGIT商の積モデルに対応することを示す。
• 幾何学的モデルのファンと特異点の解消を分析し、終身ゴレンスタイン特異点と小さな解消が存在することを証明する。
• ファノ多様体の理論を応用し、多様体が指数4のファノ多様体であることを示す。これには、標準除 canonical divisor と反標準線分束 anticanonical line bundle を用いる。
• 積分とスケーリング定数を用いて、葉を基準とした正規化体積分布関数 δ^r(t) の再帰的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ葉数を持つ系統発生樹の幾何学的モデルが、木の位相構造にかかわらず同じヒルベルト・エールハルト多項式を持つのか？
• RQ2 同じ葉数を持つ非同型の3価二進木の幾何学的モデルは、ヒルベルトスキームにおいて変形同値なのか？
• RQ3 このようなモデルのヒルベルト・エールハルト多項式は、葉数のみから普遍的に計算可能か？
• RQ4 正規化体積分布関数 δ^r(t) は木の形状に依存するのか、それとも葉数にのみ依存するのか？
• RQ5 2つの幾何学的モデルが射影的に同値であるか、あるいは多面体が同型である場合、それに対応する木は必ず組合せ的に同型であるか？

主な発見

• 同じ葉数を持つ3価二進対称系統発生樹のすべての幾何学的モデルは、変形同値であり、ヒルベルトスキームの同一連結成分に属する。
• このようなモデルのヒルベルト・エールハルト多項式は、木の位相構造に依存せず、葉数にのみ依存し、次の普遍的公式で与えられる： h(n) = (n+1)(n+2)(n+3)/22680 × (31n^6 + 372n^5 + 1942n^4 + 5616n^3 + 9511n^2 + 8988n + 3780)。
• 幾何学的モデルは、指数4のファノ多様体であり、ゴレンスタイン終身特異点をもち、小さな解消が存在する。
• 正規化体積分布 δ^r(t) は次数2rの多項式であり、スケーリング定数を含む再帰的積分公式を満たし、t ∈ (0, 1/2) に対して δ^r(t) = δ^r(1−t) を満たす。
• 6つの葉を持つ3キャタピラー木とスノーフレーク木は、顕著な太字表記の要素を除き同一の面数を持つが、インシデント行列が異なり、多面体が組合せ的に異なることが示された。
• 数値実験により、r > 3 のとき δ^r(t) はrにほとんど依存しないことが示唆され、体積分布が特定の点以降は木のサイズに敏感でないことが示された。