[論文レビュー] On piecewise pluriharmonic functions

Boris Kazarnovskii|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素多様体上の分岐擬調和（PPH）関数へと、$\mathbb{C}^n$ 上の分岐線形関数に関する結果を拡張する。PPH関数とその $dd^c$-像によって生成される電流の環を構成し、$\delta(h) = dd^c h$ および $\delta(dd^c h) = 0$ を満たす導分 $\delta$ の存在を証明する。この結果、混合マソン＝アーマンダ電流 $dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$ が積 $h_1 \cdots h_k$ のみに依存すること、すなわち、凸幾何学および複素幾何学における既知の結果を一般化する、重要な系が得られる。

ABSTRACT

We extend some results on piecewise linear functions on $\C^n$ to piecewise pluriharmonic functions on any complex manifold. We construct a ring generated by currents $h$ and $dd^ch$, where $\{h\}$ is a finite set of piecewise pluriharmonic functions. We prove that, with some restrictions on the set $\{h\}$, the map $\{h\mapsto dd^ch,\ dd^ch\mapsto0\}$ can be continued to the derivation on the ring. As a corollary, the current $dd^cg_1\wedge...\wedge dd^cg_k$ depends on the product of piecewise pluriharmonic functions $g_1,...,g_k$ only.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^n$ 上の分岐線形関数に関する結果を、任意の複素多様体上の分岐擬調和（PPH）関数へ一般化すること。
• PPH関数 $h$ 及びその $dd^c h$-像によって生成される電流の環 $\mathcal{A}$ を構成すること。
• 導分 $\delta$ を $\mathcal{A}$ 上に定義し、$\delta(h) = dd^c h$ および $\delta(dd^c h) = 0$ を満たすようにすることにより、PPH関数への微分構造の拡張を行うこと。
• 混合マソン＝アーマンダ電流 $dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$ が積 $h_1 \cdots h_k$ のみに依存することを証明すること。これは、凸幾何学における重要な性質の一般化である。

提案手法

• 複素多様体の局所有限な三角形分割の各単体上で擬調和である連続関数としてPPH関数を定義する。
• 各関数が各単体上で擬調和であるような共通の三角形分割が存在する、PPH関数の構成的空間 $A$ の概念を導入する。
• 関数 $h \in A$ に対して $h$ 及び $dd^c h$ によって生成される電流の環 $\mathcal{A}$ を構成し、$\delta(h) = dd^c h$ および $\delta(dd^c h) = 0$ を用いて導分 $\delta$ を定義する。
• $k$-次角領域構成および電流論的ストークス型恒等式を用いて、導分 $\delta$ が商環 $\mathcal{A}$ 上で適切に定義されていることを証明する。
• 電流 $\mathcal{T}$ とPPHサイクルの間の対応 $\iota$ を構築し、$D_c$ 演算子を用いて $\delta$-作用とサイクル上の境界作用の関係を確立する。
• $\iota \pi \delta' = D_c \iota \pi$ を証明することで、導分とサイクル論的作用の間の整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上の分岐擬調和関数へと、$\mathbb{C}^n$ 上の分岐線形関数理論を一般化できるか？
• RQ2 PPH関数とその $dd^c$-像によって生成される電流の環上に、$\delta(h) = dd^c h$ および $\delta(dd^c h) = 0$ を満たすwell-definedな導分 $\delta$ が存在するか？
• RQ3 PPH関数に対して、混合マソン＝アーマンダ電流 $dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$ が積 $h_1 \cdots h_k$ のみに依存するか？
• RQ4 PPH関数の最大値が構成的空間に属する条件は何か？また、この条件が電流 $dd^c(h - h_1) \wedge \cdots \wedge dd^c(h - h_k)$ に与える影響は何か？

主な発見

• PPH関数とその $dd^c$-像によって生成される電流の環 $\mathcal{A}$ 上に、任意の $h \in A$ に対して $\delta(h) = dd^c h$ および $\delta(dd^c h) = 0$ を満たす導分 $\delta$ がwell-definedである。
• 混合マソン＝アーマンダ電流 $dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$ が積 $h_1 \cdots h_k$ のみに依存することを、恒等式 $\delta^k(h_1 \cdots h_k) = k! \, dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$ を用いて示した。
• 任意の $\tau \in \mathcal{T}$ が次数 $2k$ のとき、それに付随するPPHサイクル $\iota(\tau)$ は、次数0の $(2n - k)$-次元サイクルである。
• もし $h = \max(h_1, \dots, h_k)$ かつ $h \in A$ ならば、$dd^c(h - h_1) \wedge \cdots \wedge dd^c(h - h_k) = 0$ である。これはサイクル論的構造の結果である。
• 電流とPPHサイクルの間の対応 $\iota$ はwell-definedであり、導分 $\delta$ と整合的である。$\iota \pi \delta' = D_c \iota \pi$ を用いてこれを示した。
• この構成は、$k$-次角領域の存在および $d^c$ とチェーン上の境界作用素を含む電流論的ストークス公式に依存している。