[論文レビュー] On planar variants of the monotone satisfiability problem with bounded variable appearances

Andreas Darmann, Janosch Döcker+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、変数の出現回数が制限された平面的で単調な充足可能性問題の複数の変種のNP完全性を確立している。特に、各変数が正確に3回、4回、または5回出現する場合や、節がサイズ3に制限された場合を含む。著者らは、平面的で直交的なグラフ図形と局所的なガジェット置換を用い、平面性と変数の次数制限を保ったまま、計算複雑性におけるNP困難性の証明のための効率的還元を可能にした。

ABSTRACT

We show NP-completeness for several planar variants of the monotone satisfiability problem with bounded variable appearances. With one exception the presented variants have an associated bipartite graph where the vertex degree is bounded by at most four. Hence, a planar and orthogonal drawing for these graphs can be computed efficiently, which may turn out to be useful in reductions using these variants as a starting point for proving some decision problem to be NP-hard.

研究の動機と目的

• 変数の出現回数が制限された平面的単調充足可能性問題の変種におけるNP完全性の確立。
• 関連する二部グラフが頂点次数が（最大）4に制限され、かつ平面的であることを保証すること。
• NP困難性の証明のための効率的還元を可能にする、平面的かつ直交的なグラフ図形の使用。
• 各変数が正確にs回出現する場合に、単調3-SATが変数の出現回数制限のもとで依然としてNP困難であるかどうかの検討（s ≥ 4）。
• 還元中に平面性と変数の次数制約を保つ局所的ガジェット置換の構築。

提案手法

• NP困難性の証明のため、Lichtensteinの平面的3-SATからPlanar Monotone (2,3)-Sat-3への還元。
• Goldの法則を適用し、混合節を単調節に変換しながら、平面性と変数出現回数の上限を保ったまま変換を行う。
• 平面グラフにおける変数頂点に対して局所的ガジェット置換を用い、平面性を損なわずに変数出現回数を調整する。
• 既知の線形時間アルゴリズムを用いて、得られたグラフの直交図形を構築する。
• 各節に正確に3つのリテラルが含まれ、各変数が正確にs回出現するように、リテラルを複製する。
• 次数3および次数4の変数ガジェットを設計し、2連結かつ平面的グラフ構造を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各変数が4回以下出現する場合に、Planar Monotone 3-Sat-4はNP完全か？
• RQ2 平面的インスタンスにおいて、各変数が正確に3回、4回、または5回出現するという制限のもとで、単調充足可能性問題が依然としてNP完全であるか？
• RQ3 最小のs ≥ 4が存在し、Planar Monotone 3-Sat-sがNP完全であるか？
• RQ4 変数の出現回数が制限された単調充足可能性インスタンスに対して、平面的かつ直交的なグラフ図形を効率的に計算できるか？
• RQ5 局所的ガジェット置換が、還元中に平面性と変数の次数制限を保てるか？

主な発見

• 各変数が3回以下出現する場合でも、Planar Monotone (2,3)-Sat-3はNP完全である。
• 各変数が正確に3回出現する場合、Planar Monotone (2,3)-Sat-E3はNP完全である。
• 各変数が正確に5回出現し、グラフが2連結である場合、Planar Monotone 3-Sat*-E5はNP完全である。
• 各変数が正確に4回出現し、各節に正確に3つの異なるリテラルが含まれる変種はNP完全である。
• すべての構築されたインスタンスは、最大次数4の二部グラフを伴い、効率的な平面的および直交的グラフ図形の生成を可能にする。
• 還元フレームワークにより、変数出現回数と平面的構造を制御した等充足性を保つインスタンスの効率的構築が可能である。