[論文レビュー] On plurisubharmonicity of the solution of the Fefferman equation and its applications to estimate the bottom of the spectrum of Laplace-Beltrami operators

Song-Ying Li|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超擬凸領域の概念を導入し、Fefferman方程式の解が正則な多重劣調和関数であるための必要十分条件として、領域が超擬凸であること、すなわち、領域が超擬凸であるときかつそのときに限り、Fefferman方程式の解が多重劣調和関数であることを証明する。応用として、LiとWang（2015）の結果を用いて、そのような領域におけるラプラシアン＝ベルトラミの作用素のスペクトルの下端に下界を与える。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a concept of super-pseudoconvex domain. We prove that the solution of the Feffereman equation on a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain $D$ in $\CC^n$ is plurisubharmonic if and only if $D$ is super-pseudoconvex. As an application, we give a lower bound estimate the bottom of the spectrum of Laplace-Beltrami operators when $D$ is super-pseudoconvex by using the result of Li and Wang \cite{LiWang}.

研究の動機と目的

• Fefferman方程式の解が多重劣調和関数であるような領域を特徴づけること。
• 厳密に擬凸領域における超擬凸性という幾何的性質を定義し、解析的に分析すること。
• 多重劣調和性の結果を応用し、ラプラシアン＝ベルトラミ作用素のスペクトル下端を推定すること。
• Fefferman計量とケーラー＝アインシュタイン幾何学を用いて、既知のスペクトル推定結果を拡張すること。
• 領域の境界におけるWebster-Tanaka擬リッチ曲率の正定値性の十分条件を提示すること。

提案手法

• 境界を定義する関数に関する幾何的・解析的条件を用いて、超擬凸領域の概念を導入する。
• 方程式 $\det J(\rho) = 1$ と $\rho = -e^{-u}$ を用い、解 $u$ がケーラー＝アインシュタイン計量と関係することを示す。
• LeeとMelroseの結果を応用し、境界近傍における $\rho$ の漸近展開を用いて正則性と曲率を解析する。
• ヘッセ行列とヤコビアン $J(\rho)$ を用いて、$\partial D$ 上の擬リッチ曲率の公式を導出する。
• 境界上での曲率とヘッセ行列の比較を用いて、$\rho$ の多重劣調和性の基準を確立する。
• テスト関数の構成（$|z_k|^2$ と曲率項を含む）を用いて、超擬凸性条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に擬凸領域において、Fefferman方程式の解 $\rho$ が多重劣調和関数であるための幾何的条件は何か？
• RQ2 領域の超擬凸性と $\rho$ の多重劣調和性との間の明確な関係は何か？
• RQ3 Fefferman計量を用いて、ラプラシアン＝ベルトラミ作用素のスペクトル下端をどのように推定できるか？
• RQ4 $\partial D$ 上の曲率条件は、Webster-Tanaka擬リッチ曲率の正定値性を保証するか？
• RQ5 LiとWangのスペクトル推定結果は、厳密に凸ではないが超擬凸である領域へと拡張可能か？

主な発見

• Fefferman方程式の解 $\rho$ が $\overline{D}$ 上で多重劣調和関数であるための必要十分条件は、$D$ が超擬凸領域であることである。
• 超擬凸性は、定義関数のヘッセ行列とその複素ヘッセ行列を含む曲率不等式によって特徴づけられる。
• $n \geq 2$ かつ $\alpha \leq 21/20$ のとき、曲率関数 $\tilde{E}(r)$ が非負であれば、領域 $D$ は厳密に超擬凸である。
• ラプラシアン＝ベルトラミ作用素のスペクトル下端は、$n$ と領域 $D$ の幾何的性質に依存する正の定数によって下から抑えられる。
• スペクトル下界は、超擬凸性条件とLiとWang（2015）の手法を組み合わせて導出される。
• この結果は、単位球体や実楕円体に対する既存のスペクトル推定を、より広いクラスの領域へ一般化する。