[論文レビュー] On Poincaré, Friedrichs and Korns inequalities on domains and hypersurfaces

Duduchava Roland|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バナッハの開写像定理を用いて、領域および超曲面における新しいポincare型、フレドリクス型、およびコーヌ型不等式を確立する。円柱型領域では、関数の $ L_p $-ノルムが、全勾配ではなく表面微分のみで制御されることを示し、古典的結果をベクトル場および高階ソボレフ空間へと拡張し、変形テンソルとトレース汎関数を用いて鋭い推定を得る。

ABSTRACT

The celebrated Poincaré and Friedrichs inequalities estimate the $\mathbb{L}_p$-norm of a function by the $\mathbb{L}_p$-norm of the gradient. We prove the Poincaré inequality for a domain $Ω\subset \mathbb{R}^n$ and for a hypersurface $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$ based on open mapping theorem of Banach only. For a cylinder which has a hypersurface as a base, is prove stronger inequality, involving only the surface derivatives. Similar inequalities for the uniform $C$-norm are proved as well. We also estimate $\mathbb{H}^m_p$-norm of functions prove inequalities for some generalizations of the mentioned inequalities. We also prove Poincaré-Korns and Friedrichs-Korns inequalities for vector-func\-ti\-ons estimating the $\mathbb{L}_p$-norm of a function by the $\mathbb{L}_p$-norm of the deformation tensor only on domains and on hypersurfaces. The proofs are based on the paper \cite{Du10} of the author on Korns inequalities. And again, the norm of the function in a cylinder is estimated by is the deformation tensor on the base of the cylinder.

研究の動機と目的

• 領域および超曲面における古典的ポincareおよびフレドリクス不等式を、最小限の幾何的仮定のもとで円柱型領域へと拡張すること。
• 全勾配ノルムを避けて、表面微分または変形テンソルのみに依存する関数およびベクトル場の $ L_p $-ノルム推定を確立すること。
• トレース汎関数と埋め込み定理を用いて、高階ソボレフ空間 $ \bW^m_p $ へとこれらの不等式を一般化すること。
• ベクトル場に対して、$ L_p $-ノルムを変形テンソルのみで推定するポincare-コーヌおよびフレドリクス-コーヌ不等式を確立すること。
• 特に開写像定理とキリング場の一意的継続性の性質を用いて、既存の不等式を統一的かつ強化すること。

提案手法

• バナッハの開写像定理を用いて、$ \bW^1_p $ から $ \bW^1_p / \text{constants} $ への商写像に適用し、領域 $ \bar{\text{dom}} \times [a,b] $ におけるポincareおよびフレドリクス不等式を導出する。
• 表面勾配 $ \nabla_{\text{C}} $ と $ \bar{\text{M}}_0 \times [a,b] $ 上のトレース積分に基づく新しいノルムを導入し、開写像定理を用いて標準ノルムと同値であることを証明する。
• トレース定理およびソボレフ埋め込み $ \bW^{m-1/p}_p(\bar{\text{M}}_0) \to \bL_p(\bar{\text{M}}_0) $ を用いて、不等式推定におけるトレース汎関数を制御する。
• 方程式 $ \text{Def}_{\text{C}} \bU = 0 $ (キリング場) の解の特徴である一意的継続性を用いて、超曲面上で表面変形テンソルのみに依存する不等式を証明する。
• $ \text{Def} \bU $ とトレースデータを用いて $ \bW^1_p $-空間上に同値なノルムを構成し、その後開写像定理を適用して逆不等式を導出する。
• 高階不等式は、$ m-1 $ 階までの微分のトレースの $ L_p $-ノルムとして定義される汎関数 $ F(\bvarphi) $ を用いて証明し、トレース定理により有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面微分とトレースデータのみを用いて、全勾配に依存せずに超曲面上でポincareおよびフレドリクス不等式を証明することは可能か？
• RQ2 関数の $ L_p $-ノルムが、ある部分集合上での表面勾配とトレースのみに依存して、超曲面の円柱上での推定が可能か？
• RQ3 ベクトル場に対して、$ L_p $-ノルムを変形テンソルのみで推定するポincare-コーヌおよびフレドリクス-コーヌ不等式を確立することは可能か？
• RQ4 高階ソボレフノルムは、領域および超曲面上のトレース汎関数と表面微分とどのように関係するか？
• RQ5 キリング場の特徴である一意的継続性は、超曲面上で変形テンソルのみに依存する不等式の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 円柱 $ \text{C} \times [a,b] $ 上で、新しいポincare不等式が証明された。この不等式では、$ \bvarphi $ の $ L_p $-ノルムが、表面勾配 $ \nabla_{\text{C}} \bvarphi $ の $ L_p $-ノルムと $ \bar{\text{M}}_0 $ 上のトレース積分によって抑えられ、縦方向微分に依存しない。
• 部分集合 $ \bar{\text{M}}_0 = \bar{\text{C}}_0 \times [a,b] $ で関数が消える場合、$ L_p $-ノルムは表面勾配のみで制御される：$ \big\braceVert \bvarphi \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} \neq C \big\braceVert \nabla_{\text{C}} \bvarphi \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} $。
• 超曲面 $ \text{C} $ 上では、ポincare不等式 $ \big\braceVert \bvarphi - \bvarphi_{\text{C}} \big\braceVert_{L_p(\text{C})} \neq C \big\braceVert \nabla_{\text{C}} \bvarphi \big\braceVert_{L_p(\text{C})} $ が成り立つ。これはバナッハの開写像定理を用いて証明された。
• ベクトル場に対して、超曲面上でポincare-コーヌ不等式 $ \big\braceVert \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C})} \neq C \big\braceVert \text{Def}_{\text{C}} \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C})} $ が確立され、変形テンソルのみによる制御が可能である。
• 円柱上ではフレドリクス-コーヌ不等式が証明された：$ \big\braceVert \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} \neq C \big\braceVert \text{Def}_{\text{C}} \bU \big\braceVert_{L_p(\text{C} \times [a,b])} $。これは、ベクトル場が部分集合で消える場合に成り立つ。
• 証明は、キリング場（$ \text{Def}_{\text{C}} \bU = 0 $ の解）の特徴である一意的継続性に依存しており、$ \nabla_{\text{C}} \bvarphi = 0 $ ならば $ \bvarphi \text{ は定数} $ であることを保証する。これにより、開写像定理を用いた逆不等式が可能となる。