[論文レビュー] On points with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves

В. И. Берник, Friedrich Götze+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$ 0 < \rho < \frac{3}{4} $ の場合に、滑らかな曲線 $ y = f(x) $ から距離 $ Q^{-\rho} $ 以内にある代数的点で、代数的に共役な座標を持つものの数に対する下界を確立する。メトリックディオファントス近似の技法と多項式の値および微分係数の推定を用いて、このような点の数が少なくとも $ c(n,f,J) Q^{n+1-\lambda} $ 倍に成長することを証明し、以前の結果が $ \lambda < \frac{1}{2} $ に限られていたのを改善する。

ABSTRACT

We show that for any sufficiently large integer $Q$ and a real $0\leqλ\leq\frac34$ there exists a value $c(n,f,J)&gt;0$ such that all strips $L(Q,λ)=\{(x,y):|y-f(x)|

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線の周囲における代数的点の分布に関する以前の結果を、より広い近似指数の範囲にまで拡張すること。
• 滑らかな曲線 $ y = f(x) $ から $ Q^{-\lambda} $ 以内にある、次数が $ \leq n $ で高さが $ \leq Q $ である代数的点の数に対する定量的下界を確立すること。
• ディオファントス近似のメトリック理論を用いて、曲線の周りの細い帯状領域におけるこのような点の分布を分析すること。
• 多項式の値と微分係数が制御される領域（普通の正方形と特殊な正方形）を区別し、重複して数えるのを避けること。

提案手法

• 次数 $ \leq n $ で高さ $ \leq Q $ である多項式 $ P $ が、$ i=1,2 $ に対して $ |P(x_i)| \ll Q^{-u_i} $ および $ |P'(x_i)| \gg 1 $ を満たすような集合の測度に関するメトリック定理を用いる。
• 多項式の値と微分係数の挙動に基づいて、$ (u_1,u_2) $-普通の正方形と $ (u_1,u_2) $-特殊な正方形に領域を分類する概念を適用する。
• 平均値の定理と微分係数の評価を用いて、小さな長方形内で点ごとの不等式を満たす多項式の数を推定する。
• 曲線を部分区間に分割し、$ \lambda $-近傍を二進の長方形または正方形で被覆して、$ \lambda \leq \frac{1}{2} $ の場合に定理1、$ \lambda > \frac{1}{2} $ の場合に定理2を適用する。
• 多項式の係数 $ |b_2| $ の評価とそのような多項式の数の評価を用いて、$ (1/2,1/2) $-特殊な正方形が近傍と交差する数を推定する。
• 両ケースの推定値を組み合わせることで、$ \lambda < \frac{3}{4} $ の場合に、帯状領域内の代数的点の数が $ c(n,f,J) Q^{n+1-\lambda} $ を超えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな曲線 $ y = f(x) $ から $ Q^{-\lambda} $ 以内にある代数的に共役な座標を持つ代数的点の最小数は、$ \lambda < \frac{3}{4} $ の場合にどれほどか？
• RQ2 このような代数的点の分布は、曲線の曲率や微分可能性にどのように依存するか？
• RQ3 この点の数に関する下界を $ \lambda = \frac{1}{2} $ を超えて改善できるか？もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 多項式の微分係数と近傍の幾何構造が、このような点の数を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 多項式の値と微分係数が小さい特殊な正方形は、カウントにどのように寄与するか？また、それらを除外または評価するにはどうすればよいか？

主な発見

• 任意の $ n \geq 2 $、十分に大きな $ Q $、および $ 0 < \lambda < \frac{3}{4} $ に対して、帯状領域 $ L_J(Q,\lambda) $ には、代数的に共役な座標 $ \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1,\alpha_2) $ を持ち、最小多項式の次数が $ \leq n $ で高さが $ \leq Q $ である代数的点が少なくとも $ c(n,f,J) Q^{n+1-\lambda} $ 個存在する。
• この下界は、多項式 $ P $ が $ |P(x_i)| \ll Q^{-u_i} $ および $ |P'(x_i)| \gg 1 $ を満たすような集合の測度に関するメトリック定理に基づく。ただし $ u_1 + u_2 = 1 $ である。
• $ \lambda \leq \frac{1}{2} $ の場合、定理1をサイズ $ Q^{-\lambda} \times Q^{-\lambda} $ の二進長方形に適用することで、長方形あたり $ Q^{n+1-2\lambda} $ の比例する下界が得られる。
• $ \lambda > \frac{1}{2} $ の場合、定理2をサイズ $ Q^{-s} \times Q^{-s} $（$ \frac{1}{2} < s < \frac{3}{4} $）の $ (1/2,1/2) $-普通の正方形に適用し、そのような正方形の数が $ \frac{1}{2} t_k $ を超えることが示され、同じ漸近的下界が得られる。
• $ (1/2,1/2) $-特殊な正方形の数は $ \frac{1}{2} t_k $ で抑えられ、多数の正方形が普通のものであり、したがってカウントに寄与することが保証される。
• 定数 $ c(n,f,J) $ は $ n $、関数 $ f $、および区間 $ J $ に依存し、$ f $ が適度な正則性および非退化性条件を満たしていれば正である。