[論文レビュー] On Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids

Raquel Caseiro, Antonio De Nicola+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Poisson quasi-Nijenhuis多様体の一般化としてPoisson quasi-Nijenhuis Lie algebroidsを導入し、各構造が自然に quasi-Lie bialgebroid を誘導し、それによって Courant algebroid を得ることを確立している。quasi-Lie bialgebroid および Courant algebroid の準同型を定義し、ペアド作用素を用いて Lie および quasi-Lie bialgebroid の二重構造を変形し、一般化複素幾何に適用可能な変形枠組みを提供する。

ABSTRACT

We propose a definition of Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids as a natural generalization of Poisson quasi-Nijenhuis manifolds and show that any such Lie algebroid has an associated quasi-Lie bialgebroid. Therefore, also an associated Courant algebroid is obtained. We introduce the notion of a morphism of quasi-Lie bialgebroids and of the induced Courant algebroids morphism and provide some examples of Courant algebroid morphisms. Finally, we use paired operators to deform doubles of Lie and quasi-Lie bialgebroids and find an application to generalized complex geometry.

研究の動機と目的

• Poisson quasi-Nijenhuis多様体を Lie algebroid の文脈に一般化するために、Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids を定義すること。
• Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids と quasi-Lie bialgebroid 間の対応関係を確立し、それによって関連する Courant algebroid を得ること。
• quasi-Lie bialgebroid の準同型およびそれらに誘導される Courant algebroid 準同型を定義し、Lie bialgebroid 理論における既知の結果を拡張すること。
• ペアド作用素が Lie および quasi-Lie bialgebroid の二重構造の変形に果たす役割を調査し、一般化複素幾何に応用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• Lie algebroid A、A 上の Nijenhuisテンソル N、A 上の Poisson 2次形式 π、および特定の torsion および整合性条件を満たす閉じた3形式 φ を用いて、Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids の定義を提示する。
• このような構造が自然に A* 上に quasi-Lie bialgebroid を誘導することを示し、微分 d* および 3次元断面 XA=φ を持ち、d*² = [φ,·]A および d*φ=0 を満たすことを示す。
• Lie bialgebroid 準同型を一般化した quasi-Lie bialgebroid 準同型の概念を導入し、二重構成を介して誘導される Courant algebroid 準同型を定義する。
• 二重 A⊕A* 上にペアド作用素 N = (N, π; σ, -N*) を用い、標準的な twisted Courant bracket [·,·]φ を変形し、新たな bracket [·,·]φN を得る。
• N の Nijenhuis torsion が A および A* 上で消えるならば、変形された bracket [·,·]φN が A⊕A* 上に新たな Courant algebroid 構造を定義することを確立する。
• 変形された Courant algebroid (A⊕A*)φN が、新たな quasi-Lie bialgebroid (A*π, d', dσ + iNφ) の二重構造と同型であることを示し、d' は d'f = dNf および d'α = dNα - iπ#(α)φ で定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poisson quasi-Nijenhuis 構造の概念を多様体から Lie algebroid にどのように拡張できるか？
• RQ2 Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids と quasi-Lie bialgebroid 間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 quasi-Lie bialgebroid の準同型は、それらに関連する Courant algebroid の準同型とどのように関係するか？
• RQ4 ペアド作用素を用いて quasi-Lie bialgebroid の二重構造を新しい Courant algebroid 構造に変形できるか？
• RQ5 ペアド作用素による Courant algebroid 構造の変形において、Nijenhuis torsion の役割は何か？

主な発見

• すべての Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroid は、A* 上に quasi-Lie bialgebroid を自然に誘導し、3次元断面 φ は d*φ=0 および d*²=[φ,·]A を満たす。
• 誘導された quasi-Lie bialgebroid A* の二重構造は、自然に Courant algebroid と同定され、Poisson-Nijenhuis から quasi-Nijenhuis 構造への既知の対応関係を拡張する。
• ペアド作用素 N が A⊕A* 上で Nijenhuis torsion を持たないならば、変形された bracket [·,·]φN が A⊕A* 上に有効な Courant algebroid 構造を定義することを保証する。
• 変形された Courant algebroid (A⊕A*)φN は、新たな quasi-Lie bialgebroid (A*π, d', dσ + iNφ) の二重構造と同型であり、d' は d'f = dNf および d'α = dNα - iπ#(α)φ で定義される。
• ペアド作用素 N を通じて誘導される Courant algebroid 構造 (A⊕A*) は、非退化な双線形形式およびアーカー ρN を保存し、twisted bracket [·,·]φ と整合性を持つ。
• この構成により、ペアド作用素を用いた Lie および quasi-Lie bialgebroid の二重構造の変形メカニズムが得られ、一般化複素幾何に応用可能である。