[論文レビュー] On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas

Emmanuel Tsukerman|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、等間隔のシムソン多角形を放物線の離散的類似物として確立し、それが極限において放物線に収束し、光学的反射性質、アルキメデスの補題、ランベルトの定理といった主要な幾何的性質を継承することを示している。主な貢献は、極限過程を介してシムソン多角形と放物線幾何学を結ぶ厳密な離散的幾何的枠組みを構築したことにある。

ABSTRACT

We begin by proving a few general facts about Simson polygons, defined as polygons which admit a pedal line. We use an inductive argument to show that no convex $n$-gon, $n\geq5$, admits a Simson Line. We then determine a property which characterizes Simson $n$-gons and show that one can be constructed for every $n\geq3$. We proceed to show that a parabola can be viewed as a limit of special Simson polygons, called equidistant Simson polygons, and that these polygons provide the best piecewise linear continuous approximation to the parabola. Finally, we show that equidistant Simson polygons can be viewed as discrete analogs of parabolas and that they satisfy a number of results analogous to the pedal property, optical property, properties of Archimedes triangles and Lambert's Theorem of parabolas. The corresponding results for parabolas are easily obtained by applying a limit process to the equidistant Simson polygons.

研究の動機と目的

• n ≥ 5 の n 角形がシムソン線を有するかどうかを調査し、三角形および四角形に限らないシムソン＝ウォレスの定理の拡張を試みる。
• シムソン多角形を特徴づけ、すべての n ≥ 3 に対して構成する。
• 等間隔のシムソン多角形が放物線に収束し、それを最も良い区分的線形近似として得ることを示す。
• これらの多角形を通じて、古典的放物線定理の離散的類似物—光学的性質、アルキメデスの補題、ランベルトの定理—を確立する。
• 極限過程を介して離散的多角形幾何学と連続的放物線幾何学を統合する。

提案手法

• 凸 n 角形 (n ≥ 5) がシムソン点を有しないことを、循環四角形の性質とミクル点幾何学に依拠した帰納的証明により示す。
• x 座標の差 Δ が一定となる放物線に類似した経路に頂点を対称的に配置することで、等間隔のシムソン多角形を定義する。
• 座標幾何を用いて、等間隔のシムソン多角形の辺の中点が焦点 S を持つ放物線 y = x²/(4s) 上にあることを示す。
• 反射および直交性の性質を応用し、各辺の中点におけるシムソン線に直交する直線の反射が焦点 S を通ることを証明する。
• シムソン＝ウォレスの定理を活用し、シムソン多角形の3つの辺がなす任意の三角形の外接円がシムソン点を通ることを証明する。
• n → ∞ および Δ → 0 の極限をとることで、離散的多角形の対応物から古典的放物線定理を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸 n 角形 (n ≥ 5) がシムソン線を有するかどうか、もしあるならばどのような条件下でか？
• RQ2 等間隔のシムソン多角形が放物線と共通する幾何的性質は何か、またどのように放物線を近似するか？
• RQ3 光学的性質、アルキメデスの補題、ランベルトの定理の離散的類似物は、等間隔のシムソン多角形においてどのように現れるか？
• RQ4 ミクル点は、高次のシムソン多角形を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 等間隔のシムソン多角形の極限が、どのようにして古典的放物線定理を回復するか？

主な発見

• ミクル点および循環四角形の性質に依拠した帰納的証明と背理法により、n ≥ 5 の凸 n 角形はシムソン点を有しないことが示された。
• すべての n ≥ 3 に対して等間隔のシムソン多角形が構成可能であり、その辺の中点は放物線 y = x²/(4s) 上に位置し、辺の傾きはその点における放物線の微分係数と一致する。
• 各辺の中点におけるシムソン線に直交する直線の反射が焦点 S を通ることを示し、放物線の光学的性質の離散的類似物を確立した。
• 非隣接な辺がなすアーキメデス三角形の頂点（底辺に対する向かいの頂点）は、シムソン線に直交する直線上に位置し、古典的結果を再現した。
• シムソン多角形の3つの辺がなす任意の三角形の外接円はシムソン点を通る。これは、シムソン＝ウォレスの定理の一般化である。
• 等間隔のシムソン多角形の極限をとることで、ランベルトの定理が回復される：放物線の焦点は、任意の3本の接線がなす三角形の外接円上にある。