[論文レビュー] On polyharmonic univalent mappings

Jiaolong Chen, Antti Rasila+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、1990年代のAvciとZłotkiewiczが導入した調和クラスを一般化する、多調和正単葉写像のクラス $HS_p(\lambda)$ と $HS_p^0(\lambda)$ を導入し、それらを研究する。$HS_p(\lambda)$ に属する写像は正単葉かつ方向を保ち、$HS_p^0(\lambda)$ に属する写像は原点に関して星型であることが示され、それらの極値点の特徴づけもなされる。主な貢献は、パrameter $\lambda \in [0,1]$ を持つ Goodman型クラスの多調和版を統一的枠組みで確立したことである。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a class of complex-valued polyharmonic mappings, denoted by $HS_{p}(λ)$, and its subclass $HS_{p}^{0}(λ)$, where $λ\in [0,1]$ is a constant. These classes are natural generalizations of a class of mappings studied by Goodman in 1950's. We generalize the main results of Avci and Złotkiewicz from 1990's to the classes $HS_{p}(λ)$ and $HS_{p}^{0}(λ)$, showing that the mappings in $HS_{p}(λ)$ are univalent and sense preserving. We also prove that the mappings in $HS_{p}^{0}(λ)$ are starlike with respect to the origin, and characterize the extremal points of the above classes.

研究の動機と目的

• AvciとZłotkiewicz（1990年代）が導入した調和クラス $HS$ と $HC$ を多調和設定に一般化すること。
• $p \geq 1$ および $\lambda \in [0,1]$ に対して、Goodmanのクラスの多調和版として $HS_p(\lambda)$ と $HS_p^0(\lambda)$ を定義し、それらを研究すること。
• これらのクラスに属する写像について、正単葉性、方向を保つ性質、星型性、凸性といった幾何的性質を確立すること。
• $HS_p^0(\lambda)$ の極値点を特徴づけ、調和の場合の結果を拡張すること。
• 写像 $HS_p(\lambda)$ における畳み込み性質と $\delta$-近傍の存在を調査すること。

提案手法

• $\lambda$ を含む重み付きノルム条件を満たす多調和写像 $F(z) = \sum_{k=1}^p |z|^{2(k-1)} (h_k(z) + \overline{g_k(z)})$ のクラス $HS_p(\lambda)$ を定義する。
• 係数表示 $F(z) = \sum_{k=1}^p |z|^{2(k-1)} \sum_{n=1}^\infty (a_{n,k} z^n + \overline{b_{n,k}} \overline{z}^n)$ を用い、$a_{1,1} = 1$ および $|b_{1,1}| < 1$ を満たし、係数に条件 (2.4) を課す。
• 係数推定と条件 $\sum_{k=1}^p (2k-1)(|a_{1,k}| + |b_{1,k}|) < 2$ を用いて、正単葉性および方向を保つ性質を証明する。
• 与えられた係数制約の下で $\operatorname{Re} \left( \frac{zF'(z)}{F(z)} \right) > 0$ を示すことにより、$HS_p^0(\lambda)$ 写像の星型性を確立する。
• 任意の極値写像が、ある $n,k$ に対して唯一の非ゼロ係数ペア $a_{n,k}, b_{n,k}$ を持ち、$|a_{n,k}|, |b_{n,k}|$ が特定の式で有界であることを示すことにより、$HS_p^0(\lambda)$ の極値点を特徴づける。
• $F \in HS_1^0(\lambda)$ および $H \in C_H^0$ に対して畳み込み $F \ast H$ と積分畳み込み $F \diamond H$ を分析し、$\lambda \geq \frac{1}{2}$ の下で正単葉性および凸性が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \geq 2$ のとき、調和クラス $HS$ と $HC$ を多調和設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 新しいクラス $HS_p(\lambda)$ と $HS_p^0(\lambda)$ が持つ幾何的性質（正単葉性、方向を保つ性質、星型性、凸性）は何か？
• RQ3 $HS_p^0(\lambda)$ の極値点は何か？調和の場合のそれらとはどのように異なるか？
• RQ4 写像 $F \in HS_1^0(\lambda)$ と凸な調和写像 $H \in C_H^0$ の畳み込み $F \ast H$ が正単葉または星型であるための条件は何か？
• RQ5 写像 $F \in HS_p(\lambda)$ の周囲に存在する $\delta$-近傍のサイズはどの程度で、それが $HS_p$ に含まれるか？

主な発見

• $HS_p(\lambda)$ に属する写像は、すべての $\lambda \in [0,1]$ および $p \geq 1$ に対して正単葉かつ方向を保つ。これは係数に基づく正単葉性基準によって示された。
• $HS_p^0(\lambda)$ に属する写像は $\lambda \in [0,1]$ のとき原点に関して星型である。これは調和の場合の星型性結果を拡張する。
• $HS_p^0(\lambda)$ の極値点は、ある $n,k$ に対して唯一の非ゼロ係数ペア $a_{n,k}, b_{n,k}$ を持ち、$|a_{n,k}| \leq \frac{1}{2(k-1) + n(\lambda n + 1 - \lambda)}$ および $|b_{n,k}| \leq \frac{1}{2(k-1) + n(\lambda n + 1 - \lambda)}$ を満たす写像に限られる。
• $F \in HS_1^0(\lambda)$ および $H \in C_H^0$ のとき、畳み込み $F \ast H$ は正単葉かつ星型であり、$F \diamond H$ は凸である。ただし $\lambda \geq \frac{1}{2}$ を満たす必要がある。
• 写像 $F \in HS_p(\lambda)$ の $\delta$-近傍 $N_\delta(F)$ が $HS_p$ に含まれるための条件は $\delta \leq \frac{\lambda}{p + \lambda} \left(2 - \sum_{k=1}^p (2k-1)(|a_{1,k}| + |b_{1,k}|) \right)$ である。これによりクラスの局所的開性が保証される。
• 結果は古典的な調和結果を一般化する：$\lambda = 0$ のとき $HS_p(\lambda) = HS_p$ であり、$\lambda = 1$ のとき $HS_p(\lambda) = HC_p$ である。既知のケースが回復される。