[論文レビュー] On polynomial representation functions for multilinear forms

Juanjo Rué|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

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ひとこと要約

本稿では、整数係数をもつ多変数線形形式の表現関数が十分大きな整数 n に対して定数であることは不可能であることを確立し、配置の次数を s とすると、s−1 未満の次数の多項式は、十分大きな n に対して表現関数 rₘ(n,𝒜) を一致させることができないことを示している。さらに、Erdős-Fuchs の定理を多変数設定に拡張し、平均的表現数の誤差が O(n^{1/4−ε}) より速く減少することはないことを示している。

ABSTRACT

Given an infinite sequence of positive integers $\cA$, we prove that for every nonnegative integer $k$ the number of solutions of the equation $n=a_1+...+a_k$, $a_1,\,..., a_k\in \cA$, is not constant for $n$ large enough. This result is a corollary of our main theorem, which partially answers a question of Sárközy and Sós on representation functions for multilinear forms. Additionally, we obtain an Erdős-Fuchs type result for a wide variety of representation functions.

研究の動機と目的

• Sárközy と Sós が提起した、多変数線形形式の表現関数が十分大きな n に対して定数であるかどうかという問題を解決すること。
• 配置の次数を s とすると、s−1 未満の次数の多項式は、十分大きな n に対して表現関数 rₘ(n,𝒜) を一致させることができないことを確立すること。
• 次数 s > 1 の配置に関連する多変数表現関数に対して、Erdős-Fuchs の定理を拡張すること。
• 平均表現関数の誤差の漸近的挙動を分析し、それがあまりに速く減少することはないことを示すこと。

提案手法

• 次数 s = gcd(m₁,…,mᵣ) をもつ配置 m = {(k₁,m₁), ..., (kᵣ,mᵣ)} の概念を導入し、繰り返しのある変数をもつ多変数線形形式を定義する。
• 生成関数と複素解析、特に円周上の Parseval の等式および円周法を用いて、生成関数の L² ノルムを評価する。
• Cauchy-Schwarz 不等式とべき級数の係数に対する漸近的推定を用いて、積分の境界における誤差項を制御する。
• 変数変換 r² = 1 − M^{−(2+8ε)} を用いて、誤差項の漸近的挙動における矛盾を導出する。
• Carlson の定理を用いて、生成関数表現の解析接続および一意性を正当化する。
• s が偶数か奇数かに応じた場合分けを施し、生成関数の L² ノルムに対する境界を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数線形形式の表現関数 rₘ(n,𝒜) がすべての十分大きな n に対して定数であることは可能か？
• RQ2 配置の次数 s が与えられたとき、rₘ(n,𝒜) を十分大きな n で近似できる最小の次数の多項式は何か？
• RQ3 次数 s > 1 の多変数表現関数に対して、Erdős-Fuchs 型の結果が成立するか？
• RQ4 平均表現関数 rₘ(n,𝒜) の誤差が任意の正の定数 c に対して O(n^{1/4−ε}) として減少する可能性はあるか？
• RQ5 配置の次数 s > 1 のとき、rₘ(n,𝒜) の多項式近似に根本的な障害があるか？

主な発見

• 任意の正の整数の無限列 𝒜 および次数 s > 1 の配置 m に対して、s−1 未満の次数の多項式は、十分大きな n に対して rₘ(n,𝒜) と一致し得ない。
• k₁(x₁,₁+⋯+x₁,m₁)+⋯+kᵣ(xᵣ,₁+⋯+xᵣ,mᵣ) という多変数形式の表現関数 rₘ(n,𝒜) は、十分大きな n に対して定数にはなり得ない。
• Erdős-Fuchs 型の結果が成立する：任意の c > 0 に対して、∑_{j=1}^n (rₘ(j,𝒜) − c) = O(n^{1/4−ε}) は成立しない、s > 1 の場合でも同様である。
• O(n^{1/4−ε}) の境界は、o(n^{1/4}) が不可能であるという意味で鋭いものであり、古典的 Erdős-Fuchs の定理を一般化する。
• 𝒜 = ℕ および m = {(1,s)} の場合、rₘ(n,𝒜) = binom(n+1, s−1) は次数 s−1 の多項式であり、境界 s−1 が最適であることを示している。
• 誤差が速く減少すると仮定し、r² = 1 − M^{−(2+8ε)} を用いた単位円上での生成関数の漸近的解析により、矛盾を導出する。