[論文レビュー] On Polynomial Representations of the DP Color Function: Theta Graphs and Their Generalizations

Charlie Halberg, Hemanshu Kaul+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、θグラフおよびその一般化について、DP色関数の正確な多項式公式を確立し、mが十分に大きいとき、これらのグラフではDP色関数が多項式に等しくなることを証明している。特に、彩色多項式に等しくなる。主な結果は、このクラスのグラフにおけるDP色関数の多項式表現に関する2つの未解決問題を解き、DP色関数が多項式に安定化する際の偶奇条件を特定している。

ABSTRACT

DP-coloring (also called correspondence coloring) is a generalization of list coloring that has been widely studied in recent years after its introduction by Dvo\v{r}\'{a}k and Postle in 2015. As the analogue of the chromatic polynomial $P(G,m)$, the DP color function of a graph $G$, denoted $P_{DP}(G,m)$, counts the minimum number of DP-colorings over all possible $m$-fold covers. It is known that, unlike the list color function $P_{\ell}(G,m)$, for any $g \geq 3$ there exists a graph $G$ with girth $g$ such that $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$ when $m$ is sufficiently large. Thus, two fundamental open questions regarding the DP color function are: (i) for which $G$ does there exist an $N \in \mathbb{N}$ such that $P_{DP}(G,m) = P(G,m)$ whenever $m \geq N$, (ii) Given a graph $G$ does there always exist an $N \in \mathbb{N}$ and a polynomial $p(m)$ such that $P_{DP}(G,m) = p(m)$ whenever $m \geq N$? In this paper we give exact formulas for the DP color function of a Theta graph based on the parity of its path lengths. This gives an explicit answer, including the formulas for the polynomials that are not the chromatic polynomial, to both the questions above for Theta graphs. We extend this result to Generalized Theta graphs by characterizing the exact parity condition that ensures the DP color function eventually equals the chromatic polynomial. To answer the second question for Generalized Theta graphs, we confirm it for the larger class of graphs with a feedback vertex set of size one.

研究の動機と目的

• DP色関数が彩色多項式に等しくなる条件、およびすべてのグラフについて最終的に多項式になるかどうかという2つの根本的な未解決問題を解く。
• 経路長の偶奇に基づいて、θグラフのDP色関数の正確な公式を提供する。
• 一般化θグラフへこの結果を拡張し、DP色関数が最終的に彩色多項式に一致するための必要な偶奇条件を同定する。
• 1つのフィードバック頂点集合を持つグラフの広いクラスにおいて、DP色関数が最終的に多項式であることを確認する。
• 特に構造的対称性を持つグラフにおいて、DP色関数が多項式形式にどのようにかつ何时に移行するかを理解するための枠組みを確立する。

提案手法

• 著者たちはグラフのm重被覆を分析し、H彩色の構造を単純化するために標準ラベルリングを用いる。
• グラフを森G0とスターモデルG1に分解し、スターモデル内のクロスエッジの衝突によって無効なH彩色を数えるために包含除算法を用いる。
• スターモデルの頂点の各分割Pに対して、スターモデルの頂点に固定色を割り当てたG0の適切なm彩色に基づいて、無効彩色の数を表す多項式pP(m)を定義する。
• GのH彩色の数は、P(G0, m)から、スターモデルのエッジのm個のコピーごとの無効彩色数の和を引いたものに等しくなる。各項はmの多項式であることを示す。
• 大まかなmにおいてpP(m)を最大にする分割Pμを特定することで、タイトな下界を導出する：PDP(G, m) ≥ P(G0, m) − m·pPμ(m)。
• 特定のm重被覆H∗を構成し、この境界に等号が成り立つことを証明する。これにより、PDP(G, m) = P(G0, m) − m·pPμ(m)が得られ、これはm ≥ Nにおいてmの多項式である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフGに対して、あるN ∈ ℕが存在して、すべてのm ≥ Nに対してPDP(G, m) = P(G, m)が成り立つか？
• RQ2 与えられたグラフGに対して、常にあるN ∈ ℕと多項式p(m)が存在して、すべてのm ≥ Nに対してPDP(G, m) = p(m)が成り立つか？
• RQ3 θグラフのDP色関数の正確な形は何か？また、経路長の偶奇にどのように依存するか？
• RQ4 一般化θグラフにおいて、経路長のどの偶奇条件が、PDP(G, m)が最終的に彩色多項式に一致することを保証するか？
• RQ5 1つのフィードバック頂点集合を持つグラフにおいて、DP色関数が最終的に多項式であることを示せるか？

主な発見

• 3本の経路の長さが同じ偶奇性を持つθグラフでは、DP色関数は最終的に彩色多項式に等しくなる。そうでない場合は、別の多項式である。
• 本稿では、3本の経路がすべて奇数長である場合、PDP(G, m) = P(G, m)であることを示した。それ以外の場合は、別の明示的な多項式である。
• 一般化θグラフでは、DP色関数が最終的に彩色多項式に等しくなるのは、すべての経路の長さが同じ偶奇性を持つ場合に限る。
• 著者たちは、1つのフィードバック頂点集合を持つ任意のグラフに対して、DP色関数が最終的に多項式であることを証明した。これにより、このクラスにおける2番目の未解決問題に肯定的な答えを与えた。
• 特定のm重被覆H∗の構成により、理論的下界に等号が成り立つことが証明され、PDP(G, m) = P(G0, m) − m·pPμ(m)（すべてのm ≥ Nに対して）が成り立つ。ここでpPμ(m)はすべての分割における最大の多項式である。
• 結果として、一部のグラフでは、任意に大きなmにおいてDP色関数が彩色多項式よりも厳密に小さいことが示されたが、θグラフおよび一般化θグラフでは、多項式に安定化することが確認され、このクラスにおける未解決問題が解決された。