[論文レビュー] On Popov's formula involving the Von Mangoldt function

Alexander E. Patkowski|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、von Mangoldt関数と分数部分を含むPopovの1943年公式の、これまでに知られていた最初の証明を提供する。Mellin変換および線形積分を用いて、任意の実数 $ r \geq 1 $ に一般化する。主な貢献は、リーマンゼータ関数の非自明な零点 $ \rho $ および自明な零点と関連する、$ \Lambda(n) $ の和を明示的に関連付ける新しい公式の確立であり、ムービウス関数に対しても同様の結果が得られる。

ABSTRACT

We offer a generalization of a formula of Popov involving the Von Mangoldt function. Some commentary on its relation to other results in analytic number theory is mentioned as well as an analogue involving the m$\ddot{o}$bius function.

研究の動機と目的

• 1943年に未解決のまま残っていた、von Mangoldt関数と分数部分を含むPopovの公式の厳密な証明を提供すること。
• Popovの公式を任意の実数 $ r \geq 1 $ に一般化し、その適用範囲を拡張すること。
• ムービウス関数 $ \mu(n) $ に対しても同様の公式を確立し、ゼータ関数の零点と関連付けること。
• 分数部分を含む算術的和とリーマンゼータ関数の非自明な零点との間の関係を明確にすること。
• 解析的整数論におけるMellin変換および線形積分の技法が、このような和の導出にどのように有用であるかを示すこと。

提案手法

• $ \{t\} - \frac{1}{2} $ のMellin変換の使用。$ \Re(s) > 1 $ に対して、$ \frac{s+1}{2s(s-1)} - \frac{\zeta(s)}{s} $ を得ることが知られている。
• Mellin逆変換を適用し、$ \frac{1}{2}(\{u\}^2 - \{u\}) $ を $ \zeta(s) $ および $ s $ を含む線形積分として表現すること。
• $ u = \frac{n}{x} $ と置換し、$ n > x $ について和をとることで、$ \zeta'(r-s)/\zeta(r-s) $ を含む積分が得られる。
• 変数変換 $ s \to 1-s $ を行い、積分を $ \zeta(s+r-1) $ の形に再表現し、$ s=1 $、$ s=2-r $、$ s=\rho+1-r $、$ s=-2k-r+1 $ における極が明らかになる。
• これらの極における留数の計算により主要な公式が得られ、残りの積分は絶対収束により消える。
• 自明な零点における留数の評価に、$ \zeta(s) $ の関数等式を用いて、ムービウス関数の場合への手法の適応を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ r \geq 1 $ におけるPopovの公式の正しい一般化は何か？ そして、どのように厳密に証明できるか？
• RQ2 リーマンゼータ関数の非自明な零点 $ \rho $ は、von Mangoldt関数と分数部分を含む和において、どのように現れるか？
• RQ3 同じ手法をムービウス関数 $ \mu(n) $ の公式導出に適応できるか？ また、自明な零点はどのような役割を果たすか？
• RQ4 定数項 $ h_r(x) $ の意味は何か？ また、$ s=1 $ および $ s=2-r $ における極とどのように関係するか？
• RQ5 Mellin変換技法は、解析的整数論におけるこのような明示的公式の導出をどのように支援するか？

主な発見

• 一般化された公式 (1.2) はすべての実数 $ r \geq 1 $ に対して成り立ち、$ \Lambda(n) $ の和は $ s=1 $、$ s=2-r $、$ s=\rho+1-r $、$ s=-2k-r+1 $ における留数によって表現される。
• $ r=1 $ の場合、公式はPopovの元の結果に還元され、定数項は $ h_1(x) = \frac{2 - \log(2\pi)}{2x} $ となる。
• $ r > 1 $ の場合、定数項は $ h_r(x) = \left( \frac{r}{2(2-r)(1-r)} - \frac{\zeta(r-1)}{1-r} \right) \frac{x^{-r}}{r} $ となり、$ s=2-r $ における極に起因する。
• 非自明な零点 $ \rho $ に関する和は、$ \sum_{\rho} \left( \frac{r+1-\rho}{2(\rho+1-r)(\rho-r)} - \frac{\zeta(r-\rho)}{r-\rho} \right) \frac{x^{\rho-r-1}}{r+1-\rho} $ として現れる。
• 自明な零点に関する和は、$ \zeta(2k+r) $ を含む項を寄与させ、関数等式を用いて係数が導出される。
• ムービウス関数 $ \mu(n) $ に対しても同様の公式が導出され、$ s=1 $ における留数は消え、自明な零点の留数は $ \frac{1}{\zeta'(-2k)} $ を含み、$ \pi^{2k} $、$ \zeta(2k+1) $、および階乗を含む新しい明示的公式が得られる。