[論文レビュー] On Positive Sasakian Geometry

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki+1 more|ArXiv.org|Apr 11, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、正のSasakian構造が正のリッチ曲率を持つものに変形可能であることを示すことで、Calabi予想のSasakian版を確立している。横断的ケーラー幾何と特異点の軌道体的手法を用いて、すべての $k \geq 1$ に対して $k\#(S^2\times S^3)$ 上に明示的なメトリクス族を構成し、Sasakian幾何を用いた新しい独立した証明を提供している。

ABSTRACT

A Sasakian structure on a manifold is called {\it positive} if its basic first Chern class can be represented by a positive (1,1)-form with respect to its transverse holomorphic CR-structure. We prove a theorem that says that every positive Sasakian structure can be deformed to a Sasakian structure whose metric has positive Ricci curvature. This allows us by example to give a completely independent proof of a result of Sha and Yang [SY] that for every positive integer k the k-fold connected sum of $S^2 imes S^3$ admits metrics of positive Ricci curvature.

研究の動機と目的

• 正のSasakian構造に対して、Calabi予想のSasakian版を確立すること。
• すべての正の整数 $k$ に対して、$k\#(S^2\times S^3)$ 上に正のリッチ曲率をもつSasakianメトリクスが存在することを示すこと。
• Sasakian幾何を用いて、ShaoとYangの結果における正のリッチ曲率の新しい独立した証明を与えること。
• Fano指数を2に増加させた場合、重み付き射影空間内のlog del Pezzo表面が任意のPicard数をもつ可能性があることを示すこと。

提案手法

• Sasakian多様体の特徴的foliation ${\cal F}_\xi$ における基本コhomologyに横断的Yau定理を適用する。
• Sasakian構造の変形理論を用いて、正のSasakian構造を正のリッチ曲率を持つものに変形する。
• 定義多項式 $f(z_0,z_1,z_2,z_3) = g_{k+1}(z_0,z_1,z_2) + g_1(z_0,z_1,z_2)z_3$ で定義される $\mathbb{C}^4$ 内の孤立特異点のリンクを構成し、5次元多様体 $L_f$ を得る。
• 空間の葉の軌道体構造 ${\cal Z}_f \subset \mathbb{P}(1,1,1,k)$ を用いて基本チャーン類を計算し、正の性質を検証する。
• Milnor–Orlik理論を用いて、特徴的多項式の因子を介してリンクのベッチ数を計算する。
• Smaleの定理と $H_2(L_f,\mathbb{Z})$ のねじれなし性質を用いて、微分同相型が $k\#(S^2\times S^3)$ であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正のSasakian構造は、正のリッチ曲率を持つものに変形可能か？
• RQ2 すべての $k \geq 1$ に対して、5次元多様体 $k\#(S^2\times S^3)$ は正のリッチ曲率をもつSasakianメトリクスをもつか？
• RQ3 Fano指数を1より大きくした場合、重み付き射影空間内のlog del Pezzo表面が任意のPicard数をとる可能性があるか？
• RQ4 基本第一チャーン類の正の性質とSasakian幾何における正のリッチ曲率メトリクスの存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 孤立特異点のリンクのベッチ数は、定義多項式の重みと次数とどのように関係するか？

主な発見

• コンパクト多様体上に存在する任意の正のSasakian構造は、正のリッチ曲率を持つSasakian構造に変形可能である。
• すべての正の整数 $k$ に対して、5次元多様体 $k\#(S^2\times S^3)$ は正のリッチ曲率をもつSasakianメトリクスをもつ。
• $k > 5$ の場合、定義多項式 $f$ の変形に起因する、互いに同値でない正のリッチ曲率をもつSasakian構造の $2(k-5)$-パラメータ族が存在する。
• リンク $L_f$ の第二ベッチ数は、特徴的多項式におけるMilnor–Orlikの因子理論により正確に $k$ に等しい。
• リンク $L_f$ の葉の空間 ${\cal Z}_f$ は、$\mathbb{P}(1,1,1,k)$ 内の正の第一チャーン類をもつ準滑らかlog del Pezzo表面であり、Sasakian構造が正であることを確認している。
• Fano指数を2に設定した場合、$\mathbb{P}({\bf w})$ 内のlog del Pezzo表面は任意のPicard数をもつことが存在する。これは、指数1のときの既存の結果を拡張するものである。