[論文レビュー] On possibility of realization of the phenomena of complex analytic dynamics in physical systems. Novel mechanism of the synchronization loss in coupled period-doubling systems

О. Б. Исаева, С. П. Кузнецов|ArXiv.org|Sep 6, 2005

Chaos control and synchronization参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、同一の周期2重化系を結合することにより、現実の物理系に複素解析的力学（CAD）現象——マンデルブロ集合やジュリア集合を含む——を普遍的に実現する手法を提案する。対称的な結合を導入し、実変数の複素化を模倣することで、結合系がCAD行動を示すことが実証された。具体的には、パrameter空間にマンデルブロ集合が出現し、一般化部分同期が生じる。これは、複素動力学に起因する同期喪失の新たなメカニズムを示している。

ABSTRACT

The possibility of realization of the phenomena of complex analytic dynamics for the realistic physical models are investigated. Observation of the Mandelbrot and Julia sets in the parameter and phase spaces both for the discrete maps and non-autonomous continuous systems is carried out. For these purposes, the method, based on consideration of coupled systems, demonstrating period-doubling cascade is suggested. Novel mechanism of synchronization loss in coupled systems corresponded to the dynamical behavior intrinsic to the complex analytic maps is offered.

研究の動機と目的

• 複素解析的力学（CAD）現象——マンデルブロ集合やジュリア集合を含む——が現実の物理系で実現可能かどうかを調査すること。
• 離散写像および連続非定常系の両方で観測可能な、普遍的かつ物理的に実装可能なCADの実現手法を開発すること。
• 周期2重化系の結合系における同期喪失の新たなメカニズムを、複素解析的写像固有の力学的挙動に関連付けて特定すること。
• マンデルブロ集合が結合系における一般化部分同期領域に対応することを示すこと。
• 非線形力学的系におけるCADと同期現象の関係を、特に周期2重化カスケードを経る系において確立すること。

提案手法

• 本手法は、同一の物理的系（離散的または連続的）を、実変数の複素化を模倣する対称的相互作用によって結合する。
• 結合は、Cauchy-Riemann条件を満たすように設計されており、これによりCADに必要な正則性が実現される。
• 結合系のパrameter空間を解析し、マンデルブロ集合に対応する領域を同定する。同時に、位相空間における吸引子と吸引域を可視化する。
• 本手法は離散的ロジスティック写像、ヘノン写像、周期的駆動を受けた非線形振動子に適用され、異なる系種別にCADが再現されることを示した。
• 外部の周期的駆動を用いて結合系を同期化し、フラクタル構造の出現を安定化させる。
• 位相ポートレートとパrameterチャートを用いて、一般化部分同期および (x₁, x₂) 平面上の対角付近に周期的吸引子が存在することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的または連続的時間を持つ物理的実現可能な系で、複素解析的力学（マンデルブロ集合やジュリア集合を含む）を実現できるか？
• RQ2 実数的で非正則な系の結合において、CAD現象が出現するための結合メカニズムは何か？
• RQ3 結合された周期2重化系における同期喪失現象は、マンデルブロ集合の構造とどのように関係しているか？
• RQ4 結合系におけるマンデルブロカクタに対応するパrameter空間の領域の動的意味は何か？
• RQ5 一般化部分同期は、結合系におけるCADの前兆または現れとして特定できるか？

主な発見

• 結合が複素解析的挙動を誘発する場合、個々の構成要素が実数的かつ非正則であっても、結合系のパrameter空間にマンデルブロ集合が出現する。
• さまざまな複素パラメータに対して、結合系の位相空間にジュリア集合が観測され、連結性、非連結性、またはカオス的挙動に対応する明確なトポロジーが観察された。
• パラメータ (λ₁, λ₂) がマンデルブロカクタ内にあるとき、一般化部分同期が生じ、(x₁² + x₂²)¹ᐟ² が有界かつ周期的に変動する。
• 一般化部分同期領域は正確にマンデルブロカクタに対応しており、パラメータの不一致が存在しても同期的かつ周期的な挙動が維持される領域を示している。
• 本手法は離散写像（ロジスティック写像、ヘノン写像）および非定常連続系の両方でCADを成功裏に実現し、広範な適用可能性を示した。
• 同期喪失の新たなメカニズムは、特に周期2重化カスケードの蓄積点に位置するマンデルブロ集合の分岐構造に関連している。