[論文レビュー] On Power Law Scaling Dynamics for Time-fractional Phase Field Models during Coarsening

Lizhen Chen, Jia Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、材料における粗大化ダイナミクスを研究するため、時間分数マクロモデルを導入している。数値的検証により、有効自由エネルギーと粗さが、スケーリング指数が分数的次数 α に対して線形に比例する普遍的なべき乗則スケーリング則に従うことが示された。Cahn-Hilliard 型および分子線エpitaxy (MBE) モデルにおいて、エネルギーの減衰が O(t⁻ᵅ⁄³) または O(t⁻ᵅ⁄⁴)、粗さの増加が O(tᵃ⁄²) または O(tᵃ⁄³) とならされ、α を用いた粗大化速度の調整が可能であることが確認された。

ABSTRACT

In this paper, we study the phase field models with fractional-order in time. The phase field models have been widely used to study coarsening dynamics of material systems with microstructures. It is known that phase field models are usually derived from energy variation so that they obey some energy dissipation laws intrinsically. Recently, many works have been published on investigating fractional-order phase field models, but little is known of the corresponding energy dissipation laws. We focus on the time-fractional phase field models and report that the effective free energy and roughness obey a universal power-law scaling dynamics during coarsening. Mainly, the effective free energy and roughness in the time-fractional phase field models scale by following a similar power law as the integer phase field models, where the power is linearly proportional to the fractional order. This universal scaling law is verified numerically against several phase field models, including the Cahn-Hilliard equations with different variable mobilities and molecular beam epitaxy models. This new finding sheds light on potential applications of time fractional phase field models in studying coarsening dynamics and crystal growths.

研究の動機と目的

• 粗大化過程における普遍的なスケーリング則を特定することで、時間分数マクロモデルの基礎を確立すること。
• 分数的次数 α がマクロモデル系におけるエネルギー散逸および表面粗さに与える影響を調査すること。
• 時間分数マクロモデルにおけるべき乗則スケーリングが、整数次数モデルと類似しているが、α に依存するスケーリング指数を有することを数値的に検証すること。
• 分数マクロ計算が微細構造進化における記憶効果をモデル化する可能性を検討すること。
• 長時間・高次元の時間分数マクロダイナミクスをシミュレート可能な堅牢な数値スキームの開発すること。

提案手法

• 時間に沿った Caputo 分数導関数を用いた、時間分数 Cahn-Hilliard 型および分子線エpitaxy (MBE) モデルの定式化。
• 時間離散化を効率的に行うため、Caputo 分数導関数の高速アルゴリズムの使用。
• 空間離散化にフーリエスペクトル法を適用し、高い精度を確保。
• 長時間シミュレーションに適した、完全離散的・線形的・無条件安定な数値スキームの開発。
• シミュレートされたエネルギーおよび粗さデータからスケーリング指数を抽出するため、対数-対数プロットにおける最小二乗フィッティングの実装。
• 複数のモデルにおける検証：定常移動度および変動移動度を有する Cahn-Hilliard モデル、勾配選択あり・なしの MBE モデル。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数マクロモデルは、整数次数モデルと同様に、粗大化過程において普遍的なべき乗則スケーリングを示すか？
• RQ2 分数的次数 α は、有効自由エネルギーおよび表面粗さのスケーリング指数にどのように影響するか？
• RQ3 時間分数モデルにおけるスケーリング則が、分数的次数 α に対して線形的に関連づけられるか、定量的に結びつけられるか？
• RQ4 α → 1 のとき、時間分数モデルの数値結果が、整数次数モデルの既知のスケーリング行動を回復するか？
• RQ5 提案された数値スキームは、時間分数マクロモデル系の長時間・高次元シミュレーションにおいて、効率的かつ安定的か？

主な発見

• 定常移動度を有する時間分数 Cahn-Hilliard モデルにおいて、有効自由エネルギーは O(t⁻ᵅ⁄³) に比例し、整数次数モデルの既知の t⁻¹⁄³ スケーリングと整合的である。
• 位相反応移動度 λ = λ₀|1−φ²| を有する時間分数 Cahn-Hilliard モデルでは、エネルギーの減衰が O(t⁻ᵅ⁄⁴) に比例し、整数次数モデルの t⁻¹⁄⁴ スケーリングと一致する。
• 勾配選択を有する時間分数 MBE モデルでは、エネルギーの減衰が O(t⁻ᵅ⁄³)、粗さの増加が O(tᵃ⁄³) に比例し、α = 1 のとき整数モデルの t⁻¹⁄³ および t¹⁄³ スケーリングを保持する。
• 勾配選択なしの時間分数 MBE モデルでは、粗さの増加が O(tᵃ⁄²) に比例し、整数モデルの t¹⁄² スケーリングを分数的 α に一般化する。
• スケーリング指数が α に対して線形に比例することから、粗大化速度を分数的次数の調整により制御可能であることが示された。
• 数値結果により、複数のモデルにおいて普遍的なべき乗則スケーリングが確認され、時間分数マクロダイナミクスの理論的枠組みの妥当性が検証された。