[論文レビュー] On practical numbers of some special forms

Li-Yuan Wang, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$b \geq 0$、$c > 0$ である特定の二次形式 $n^2 + bn + c$ について、ある $n > 1$ に対して実用的数を生成するならば、無限に多くの実用的数を生成することを確立している。さらに、$q$ が実用的数であるとき、$q^4 + 2$ の形をした実用的数が無限に存在することを証明し、巡回多項式の恒等式と乗法的構造に関する帰納的議論を用いて、GCD が 4 または 6 である無限に多くの実用的ピタゴラスの三つ組を構成している。

ABSTRACT

In this paper we study practical numbers of some special forms. For any integers $b\ge0$ and $c>0$, we show that if $n^2+bn+c$ is practical for some integer $n>1$, then there are infinitely many nonnegative integers $n$ with $n^2+bn+c$ practical. We also prove that there are infinitely many practical numbers of the form $q^4+2$ with $q$ practical, and that there are infinitely many practical Pythagorean triples $(a,b,c)$ with $\gcd(a,b,c)=6$ (or $\gcd(a,b,c)=4$).

研究の動機と目的

• 特定の算術的条件の下で $b$ と $c$ が満たす条件下での二次形式 $n^2 + bn + c$ における実用的数の無限性を調査すること。
• 実用的数 $q$ を用いた $q^4 + 2$ の形をした実用的数が無限に存在することを確立すること。
• GCD が 4 または 6 である実用的ピタゴラスの三つ組を無限に構成し、その存在を証明すること。
• メルフィの巡回多項式法を拡張し、$2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ のような特定の指数形式の実用的数の証明を行うこと。

提案手法

• 実用的数の構造定理を用いる：ある数が実用的数であるとは、$p_1 = 2$ として、その素因数が $p_j - 1 \leq \sigma(p_1^{a_1} \cdots p_{j-1}^{a_{j-1}})$ を満たすときである。
• メルフィの巡回多項式法を適用し、$\Phi_d(x)$ に関する恒等式を活用して、巡回多項式のサイズを因数分解し、上限を求める。
• $k$ に関する帰納法を用いて、$m_k = 2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ がすべての $k \geq 0$ に対して実用的数であることを証明する。この際、$\Phi_6(x), \Phi_{30}(x), \Phi_{42}(x), \Phi_{210}(x)$ の上限を用いる。
• 恒等式 $x^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x)$ を用いて $x^{210} - 1$ を分解し、巡回多項式の因子を通じて $m_{k+1}$ と $m_k$ の関係を確立する。
• Lemma 2.1（乗法的成長が有界な実用的数の積は実用的数のままである）を適用し、再帰的因数分解を通じて実用的数の性質を伝搬させる。
• 明示的な家族のピタゴラスの三つ組を構成する：$a_k = 2(3^{3^k \cdot 70} - 1)$、$b_k = 4 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$、$c_k = 2(3^{3^k \cdot 70} + 1)$ であり、これらが帰納的に実用的数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような $b$ と $c$ の条件下で、二次形式 $n^2 + bn + c$ が無限に多くの実用的数を生成するか？
• RQ2 $q$ が実用的数であるとき、$q^4 + 2$ の形をした実用的数が無限に存在するか？
• RQ3 GCD が 4 または 6 である実用的ピタゴラスの三つ組を無限に構成できるか？
• RQ4 形式 $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ はすべての $k \geq 0$ に対して実用的数を生成するか？
• RQ5 巡回多項式の因数分解を用いて、帰納的議論により指数的形の実用的数の実用的性を証明できるか？

主な発見

• ある $n > 1$ に対して $n^2 + bn + c$ が実用的数であれば、$n \in \mathbb{N}$ で $n^2 + bn + c$ が実用的数であるものが無限に存在する。
• 特に $b = 20$ の場合、$S_{20} = \{1 \leq c \leq 100 : c \not\equiv 2,5 \pmod{12}\}$ とおくと、$n^2 + 20n + c$ は無限に多くの $n$ に対して実用的数である。
• $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ はすべての $k \geq 0$ に対して実用的数であり、$q^4 + 2$ が実用的数であるような実用的数 $q$ が無限に存在することを示している。
• GCD が 4 である実用的ピタゴラスの三つ組が無限に存在する。構成は $a_k = 2(3^{3^k \cdot 70} - 1)$、$b_k = 4 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$、$c_k = 2(3^{3^k \cdot 70} + 1)$ で与えられ、すべての項が帰納的に実用的数であることが証明されている。
• GCD が 6 である実用的ピタゴラスの三つ組が無限に存在する。構成は $x_k = 3(3^{3^k \cdot 70} - 1)$、$y_k = 6 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$、$z_k = 3(3^{3^k \cdot 70} + 1)$ で与えられ、すべての項が帰納的に実用的数であることが証明されている。
• 巡回多項式の因数分解 $x^{210} - 1 = (x^{105} - 1) \cdot \Phi_6(x) \Phi_{30}(x) \Phi_{42}(x) \Phi_{210}(x)$ を用いて、因子のサイズを上限し、比較することで、実用的数の帰納的証明を可能にした。