[論文レビュー] On Primes of Ordinary and Hodge-Witt Reduction

Kirti Joshi|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体上の滑らかで射影的代数的多様体に対する、Serreの予想（普通の還元をもつ無限個の素数の存在）を検討し、普通の還元を厳密に含むより広いHodge-Witt還元に関する予想を提示する。両者の予想の間の明確な関係を確立し、CMアーベル多様体およびアーベル3次元多様体（C. S. Rajanと共著）に対してHodge-Witt予想を証明する。また、例を通じて普通の還元素数とHodge-Witt還元素数の密度が異なり得ることを示し、特に楕円曲線の積やCM曲面に対して明示的な密度計算を行う。

ABSTRACT

Jean-Pierre Serre has conjectured, in the context of abelian varieties, that there are infinitely primes of good ordinary reduction for a smooth, projective variety over a number field. Any prime of ordinary reduction is also a prime of Hodge-Witt reduction but not conversely. More generally, Conjecture 4.1.2 asserts the existence of infinitely many primes of Hodge-Witt reduction. The two conjectures are related but not equivalent (Theorem 4.1.4). We prove this conjecture for abelian threefolds Theorem 4.3.1 (joint with C. S. Rajan), and smooth Fano threefolds (Theorem 4.4.9) and in Theorem 4.5.4 for all simple abelian varieties with complex multiplication (this implies a conjecture of Mustaţă-Srinivas for such abelian varieties). We show that the set of primes of ordinary and Hodge-Witt reduction can have different densities (Theorem 4.5.4, Example 6.3.1). Theorem 6.2.1 asserts that for Fermat hypersurfaces of dimension $\geq 3$ and degrees $\geq 211$, at least 98% of the primes are of non Hodge-Witt (and hence non-ordinary) reduction. We include here an unpublished joint result Theorem 3.3.1 with C. S. Rajan.

研究の動機と目的

• 数体上の滑らかで射影的多様体に対して、無限個の普通の還元をもつ素数の存在に関するSerreの予想を調査すること。
• 普通の還元素数の集合を厳密に含むより広いHodge-Witt還元素数の存在に関する予想を提示・分析すること。
• 普通の還元素数の集合とHodge-Witt還元素数の集合の間の明確な数学的関係を確立し、両者が等価ではないが密接に関連していることを示すこと。
• 理論的結果と具体的な例（特に密度計算を含む）を通じて両予想に対する証拠を提供すること。
• 結果をアーベル3次元多様体およびK3曲面へ拡張し、アーベル3次元多様体に対してHodge-Witt還元素数の正の密度を証明する（C. S. Rajanと共著）。

提案手法

• 正の特性におけるHodge-Witt多様体および普通の還元多様体を定義・研究するために、クリスタリンコホモロジーとde Rham-Wittコホモロジーを用いる。
• Mazurの定理（ホッジ多角形とニュートン多角形の比較）およびKatz-Messingの定理を適用し、フロベニウス作用とコホモロジー不変量との関係を確立する。
• アーベル多様体における複素乗法（CM）理論を用いて還元型を分析し、素数の密度を計算する。
• クリスタリンフロベニウスの半単純性およびHodge-Wittコホモロジーにおける可除性条件を活用し、有限性および密度に関する結果を導出する。
• 類体論およびガロア群の共轭類を用いて、特にCM体における特定還元型をもつ素数の密度を計算する。
• フェルマー高次曲面、楕円曲線の積、K3曲面などの例を分析し、理論的結果を図示し、予想の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Conjecture 4.1.1で予想されているように、任意の数体上の滑らかで射影的多様体に対して、Hodge-Witt還元をもつ無限個の素数が存在するか？
• RQ2 普通の還元素数の集合とHodge-Witt還元素数の集合の間の明確な関係は何か？ 両者の密度はどのように比較できるか？
• RQ3 数体上のアーベル3次元多様体およびK3曲面に対して、普通の還元素数に関する予想を拡張し、証明可能か？
• RQ4 普通の還元素数とHodge-Witt還元素数の密度はどのように異なり、特に楕円曲線の積のような特定の多様体に対して明示的に計算可能か？
• RQ5 複素乗法は、Hodge-Witt還元または普通の還元素数の正の密度を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 数体上のアーベル3次元多様体に対して、C. S. Rajanと共著で証明したように、Hodge-Witt還元をもつ素数の集合は正の密度をもつ。
• Q 上の2つの楕円曲線の積に対して、普通の還元素数の集合の密度は 1/4 である一方、Hodge-Witt還元素数の集合の密度は 3/4 であり、両者の密度が異なることを示している。
• Q(ζ₅) で複素乗法をもつ2変数曲線のヤコビアンに対して、普通の還元（したがってHodge-Witt還元）素数の密度は 1/4 であり、非Hodge-Witt還元は 3/4 の密度をもつ。
• 非ガロア的四次CM体をもつアーベル曲面に対して、Hodge-Witt還元素数の密度は 3/8 以上 3/4 以下であり、普通の還元素数の密度は 1/8 から 1/2 の間である。
• 本稿は、K3曲面に対してSerreの普通の還元に関する予想を確認し、BogomolovとZarhinが以前に得た結果を独立に再確認した。
• フェルマー高次曲面や一般型の曲面（例えば、CMヤコビアンをもつ曲線の積）の例から、Conjecture 3.1.1（普通の還元）およびConjecture 4.1.1（Hodge-Witt還元）が同時に成り立ち、それぞれ異なる素数集合と密度をもつことが示された。