[論文レビュー] On primes p for which d divides ord_p(g)

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定整数 $ d $ に対して、乗法的位数 $ \text{ord}_p(g) $ が $ d $ で割り切れるような素数 $ p \leq x $ の個数に関する簡単な恒等式を確立する。この恒等式を用いて、体の次数および $ g $ の算術的不変量を用いて表される自然密度 $ \delta_g(d) $ の新しい、よりコン act で計算に適した公式を導出する。この結果により、$ \delta_g(d) $ の完全かつ明示的な評価が可能となり、正負の $ g $ の両方のケースを含む。密度は常に正の有理数であることが確認される。

ABSTRACT

Let N_g(d) be the set of primes p such that the order of g modulo p is divisible by a prescribed integer d. Wiertelak showed that this set has a natural density and gave a rather involved explicit expression for it. Let N_g(d)(x) be the number of primes p<=x that are in N_g(d). A simple identity for N_g(d)(x) is established. It is used to derive a more compact expression for the natural density than known hitherto. A numerical demonstration, using a program of Y. Gallot, is presented.

研究の動機と目的

• 有理数 $ g \in \mathbb{Q} \setminus \{-1, 0, 1\} $ に対して、$ d \mid \text{ord}_p(g) $ を満たす素数 $ p $ の自然密度 $ \delta_g(d) $ の簡単で明示的な公式を導出すること。
• 体の次数および判別式に基づいて、Wiertelak や Pappalardi らの既存の表現よりもよりコンパクトで計算に適した公式を提供することにより、$ \delta_g(d) $ の表現を改善すること。
• 特に $ g $ が平方でない場合の正負の $ g $ を統一的に扱い、$ \delta_{-g}(d) $ と $ \delta_g(d) $ の間の変換則を用いて関係を明確にすること。
• 標準的およびGRH仮定の下で、このような素数の個数 $ N_g(d)(x) $ の明確な漸近公式を確立すること。
• 大規模な素数集合を用いた広範な計算を通じて、理論的結果の数値的検証を提供すること。

提案手法

• 鍵となる恒等式を導入：$ N_g(d)(x) = \sum_{v \mid d^\infty} \sum_{\alpha \mid d} \mu(\alpha) \pi_{K_{dv, \alpha v}}(x) $、ここで $ K_{s,r} = \mathbb{Q}(\zeta_s, g^{1/r}) $ であり、$ \pi_L(x) $ は数体 $ L $ で完全に分解する非分岐素数の個数を数える。
• Chebotarev の密度定理および残差指数 $ r_p(g) $ の性質を用いて、$ d \mid \text{ord}_p(g) $ を満たす素数の個数を、円分拡張および根拡張における分解の性質に関連付ける。
• $ d^\infty $（超自然数）の因子に対する Möbius の反転を適用し、望ましい密度条件を分離する。
• 密度 $ \delta_g(d) $ を、体拡張 $ [K_{dv, \alpha v} : \mathbb{Q}] $ の次数の和として導出し、$ \epsilon_1 $、$ h $、$ d $、および判別式を含む有理関数の形に表現する。
• 特別な場合（$ d $ が偶数のとき）を扱うために、$ \mathbb{Q}(\sqrt{g_0}) $ の 2-adic 判別式の 2 進付値に依存する補正項 $ \epsilon_g(d) $ を導入する。
• Chebotarev の密度定理における $ \pi_L(x) $ の誤差項の既知の評価を用いて、GRH に基づく誤差項を確立し、$ O_{d,g}(\sqrt{x} \log^{\omega(d)+1} x) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然密度 $ \delta_g(d) $ の最も簡単な閉形式表現は何か？ すなわち、$ d \mid \text{ord}_p(g) $ を満たす素数 $ p $ の自然密度。
• RQ2 正負の有理数 $ g $ に対して、特に $ g $ が平方でない場合に、$ \delta_g(d) $ を一様に表現する方法は何か？
• RQ3 Wiertelak や Pappalardi らの結果よりも、$ \delta_g(d) $ のよりコンパクトで計算に適した公式を導出可能か？
• RQ4 GRH 仮定の下で、$ N_g(d)(x) $ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 $ g $ と $ -g $ の密度の関係は何か？ そして、この関係を用いて公式のケース数を削減可能か？

主な発見

• 新しいコンパクトな公式が得られた：$ \delta_g(d) = \frac{\epsilon_1}{d(h, d^\infty)} \prod_{p \mid d} \frac{p^2}{p^2 - 1} $、ここで $ \epsilon_1 $ は $ g $ の符号、$ h $ の 2 進付値、および $ \mathbb{Q}(\sqrt{g_0}) $ の判別式に依存する。
• $ g > 0 $ の場合、$ 2 \mid d $ かつ $ D(g_0) \mid 4d $ ならば $ \epsilon_1 = 1 + (-1/2)^{2^{\max\{0, \nu_2(D(g_0)/dh)\}}} $、それ以外は 1。
• $ h $ が奇数の場合、$ 2 \mid d $ かつ $ D(g) \mid 4d $ ならば $ \epsilon_1 = 1 + (-1/2)^{2^{\max\{0, \nu_2(D(g)/dh)\}}} $、それ以外は 1。
• この公式により、$ \delta_g(d) \in \mathbb{Q}_{>0} $ であることが確認され、密度の有理数性に関する長年の未解決問題が解決される。
• 数値的テーブルにより、理論的値 $ \delta_g(d) $ が非常に高い精度で確認された。例えば、$ \delta_2(2) = 17/24 \approx 0.708333 $ は、$ x = 2.04 \times 10^9 $ までの一貫した実験データと一致する。
• GRH 仮定のもとで、$ N_g(d)(x) $ の誤差項は $ O_{d,g}(\sqrt{x} \log^{\omega(d)+1} x) $ であり、既知の最良の非条件的境界よりも著しく優れている。