[論文レビュー] On pro-$p$-Iwahori invariants of $R$-representations of reductive $p$-adic groups

Noriyuki Abe, Guy Henniart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、再帰的 $p$-進群の $R$-表現の pro-$p$-Iwahori 不変量と、pro-$p$-Iwahori ヒッケ代数上の加群の間の明確な対応を確立し、前向きの誘導に関する既存の研究を拡張する。特性 $p$ の代数的に閉じた体 $R$ に対して、非自明な滑らか双対を持つ任意の不可約適切な $R$-表現は有限次元であることを証明し、このような表現の分類における重要なケースを解決する。

ABSTRACT

Let $F$ be locally compact field with residue characteristic $p$, and $\mathbf{G}$ a connected reductive $F$-group. Let $\mathcal{U}$ be a pro-$p$ Iwahori subgroup of $G = \mathbf{G}(F)$. Fix a commutative ring $R$. If $π$ is a smooth $R[G]$-representation, the space of invariants $π^{\mathcal{U}}$ is a right module over the Hecke algebra $\mathcal{H}$ of $\mathcal{U}$ in $G$. Let $P$ be a parabolic subgroup of $G$ with a Levi decomposition $P = MN$ adapted to $\mathcal{U}$. We complement previous investigation of Ollivier-Vignéras on the relation between taking $\mathcal{U}$-invariants and various functor like $\mathrm{Ind}_P^G$ and right and left adjoints. More precisely the authors' previous work with Herzig introduce representations $I_G(P,σ,Q)$ where $σ$ is a smooth representation of $M$ extending, trivially on $N$, to a larger parabolic subgroup $P(σ)$, and $Q$ is a parabolic subgroup between $P$ and $P(σ)$. Here we relate $I_G(P,σ,Q)^{\mathcal{U}}$ to an analogously defined $\mathcal{H}$-module $I_\mathcal{H}(P,σ^{\mathcal{U}_M},Q)$, where $\mathcal{U}_M = \mathcal{U}\cap M$ and $σ^{\mathcal{U}_M}$ is seen as a module over the Hecke algebra $\mathcal{H}_M$ of $\mathcal{U}_M$ in $M$. In the reverse direction, if $\mathcal{V}$ is a right $\mathcal{H}_M$-module, we relate $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q)\otimes extrm{c-Ind}_\mathcal{U}^G\mathbf{1}$ to $I_G(P,\mathcal{V}\otimes_{\mathcal{H}_M} extrm{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M\mathbb{1},Q)$. As an application we prove that if $R$ is an algebraically closed field of characteristic $p$, and $π$ is an irreducible admissible representation of $G$, then the contragredient of $π$ is $0$ unless $π$ has finite dimension.

研究の動機と目的

• $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ の pro-$p$-Iwahori 不変量を、pro-$p$-Iwahori ヒッケ代数 $\mathcal{H}$ 上のヒッケ加群に関連付けること。
• Ollivier-Vignéras および Abe-Henniart-Vignéras の枠組みを、pro-$p$-Iwahori 部分群による不変量を含むように拡張すること。
• 特性 $p$ の代数的に閉じた体 $R$ に対して、$G$ の不可約適切な $R$-表現 $\pi$ が非自明な滑らか双対を持つならば、その次元が有限であることを証明すること。
• 特徴的 $0$ の結果を一般化する、mod-$p$ 表現論の文脈における双対性結果を確立すること。

提案手法

• $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ を $\sigma$ の $\mathcal{U}_M$-不変部分空間とするとき、$I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ と $\mathcal{H}$-加群 $I_\mathcal{H}(P,\sigma^{\mathcal{U}_M},Q)$ の間の対応を構成すること。
• pro-$p$-Iwahori 部分群 $\mathcal{U}$ 及びそのレヴィ部分代数 $\mathcal{H}_M$（$\mathcal{U}_M = \mathcal{U} \cap M$）のヒッケ代数 $\mathcal{H}$ と $\mathcal{H}_M$ を用い、$\mathcal{H}_M$-加群の拡張性質を研究すること。
• 関手 $\mathcal{V} \mapsto \mathcal{V} \otimes_{\mathcal{H}_M} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M \mathbf{1}$ を用いて、$(-)^{\mathcal{U}}$ の右随伴を適用し、$\mathcal{H}$-加群と $G$-表現の間の関係を確立すること。
• 超特異 $\mathcal{H}_R$-加群の分類および普遍表現 $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q) \otimes_\mathcal{H} R[\mathcal{U} \backslash G]$ の構造を用いて不変量を分析すること。
• 特に、モジュール $\mathrm{St}_Q^{P(\sigma)}$ を基本的構成要素として用いるヒッケ代数的枠組みにおける放棄誘導およびコインダクションの理論を適用すること。
• 超特異表現に関連する特性 $\chi$ を用いて、係数 $a_w$ に対する制約を導出し、ワイル群が自明でない限り矛盾が生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $I_G(P,\sigma,Q)$ の pro-$p$-Iwahori 不変量は、pro-$p$-Iwahori ヒッケ代数 $\mathcal{H}$ 上のヒッケ加群とどのように関係するか？
• RQ2 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ の $\mathcal{H}$-加群構造は、$\sigma^{\mathcal{U}_M}$ およびヒッケ代数 $\mathcal{H}_M$ を用いて明示的に記述可能か？
• RQ3 不可約適切な $R$-表現 $\pi$ の滑らか双対が消える条件は何か？非ゼロとなる条件は何か？
• RQ4 超特異 $\mathcal{H}_M$-加群は、$I_G(P,\sigma,Q)$ の有限性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 ヒッケ代数的手法を用いて、正の特性における非自明な滑らか双対を持つ不可約適切表現の有限次元性を確立できるか？

主な発見

• pro-$p$-Iwahori 不変量 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ は、$\mathcal{H}$-加群 $I_\mathcal{H}(P,\sigma^{\mathcal{U}_M},Q)$ に同型であり、表現論的不変量とヒッケ代数的不変量の明確な関係を確立する。
• 任意の右 $\mathcal{H}_M$-加群 $\mathcal{V}$ に対して、$I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q) \otimes_{\mathcal{H}} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}}^G \mathbf{1}$ は $I_G(P, \mathcal{V} \otimes_{\mathcal{H}_M} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M \mathbf{1}, Q)$ に同型である。これは、放棄誘導とヒッケ代数的演算の整合性を示している。
• $R$ が特性 $p$ の代数的に閉じた体であれば、$G$ の任意の不可約適切な $R$-表現 $\pi$ が非自明な滑らか双対を持つならば、その次元は有限である。
• 証明は、$\sigma$ が超臨界的であるとき $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ に超特異 $\mathcal{H}_M$-部分加群が存在することに依拠しており、これによりレヴィ部分群 $M$ が中心的になり、したがって有限になる。
• この議論は、$\sigma$ の滑らか双対の非消滅性を用いて、$M = Z$（中心）であることを導き、$\sigma$ が有限次元であることを示し、したがって $\pi = I_G(P,\sigma,G)$ が有限次元であることを結論づける。
• この結果は、$F$ の残差特性に制限を設けず、特徴的 $0$ の結果に依存せず、完全に mod-$p$ の設定で有効である。