[論文レビュー] On probability measures arising from lattice points on circles

Pär Kurlberg, Igor Wigman|Research Portal (King's College London)|Jan 8, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は原点を中心とする円上の格子点から導かれる確率測度を調査し、このような点の正規化された数え上げ測度の弱収束として得られる到達可能測度—すなわち、そのような測度の弱極限として実現可能な測度—が畳み込みに関して閉じており、すべての極端な対称測度を含むことを示している。しかし、すべての対称確率測度が到達可能であるとは限らず、フーリエ係数に課される制約により、到達可能測度では $\hat{\mu}(8)$ が $2\hat{\mu}(4)^2 - 1$ と $\max(\hat{\mu}(4)^4, (2|\hat{\mu}(4)| - 1)^2)$ の間にある必要がある。この制約は、素数のべきの寄与によって生じるフラクタルに似た構造を、到達可能測度の集合に示している。

ABSTRACT

A circle, centered at the origin and with radius chosen so that it has non-empty intersection with the integer lattice $\mathbb{Z}^{2}$, gives rise to a probability measure on the unit circle in a natural way. Such measures, and their weak limits, are said to be attainable from lattice points on circles. We investigate the set of attainable measures and show that it contains all extreme points, in the sense of convex geometry, of the set of all probability measures that are invariant under some natural symmetries. Further, the set of attainable measures is closed under convolution, yet there exist symmetric probability measures that are not attainable. To show this, we study the geometry of projections onto a finite number of Fourier coefficients and find that the set of attainable measures has many singularities with a "fractal" structure. This complicated structure in some sense arises from prime powers - singularities do not occur for circles of radius $\sqrt{n}$ if $n$ is square free.

研究の動機と目的

• 原点中心の円上の格子点の正規化された数え上げ測度の弱極限として得られる確率測度の集合を特徴づけること。
• 回転 $\pi/2$ および複素共役に関して不変であるようなすべての対称確率測度が、このような格子点から到達可能かどうかを特定すること。
• フーリエ係数とその制約を用いて、到達可能測度の集合の幾何学的・算術的構造を分析すること。
• 素数のべきが到達可能測度空間における特異性やフラクタルに似た特徴を生成する役割を調査すること。

提案手法

• 整数 $n$ が2つの平方数の和として表せる場合、半径 $\sqrt{n}$ の円上の格子点におけるディラックデルタ関数の正規化された和として確率測度 $\mu_n$ を定義する。
• フーリエ係数 $\hat{\mu}(k) = \int_{\mathcal{S}^1} z^{-k} d\mu(z)$ を用いて、到達可能測度の構造を分析し、特に $\hat{\mu}(4)$ と $\hat{\mu}(8)$ に注目する。
• 到達可能測度の集合が畳み込みに関して閉じており、素数のべきによる到達可能測度（すなわち、$p \equiv 1 \pmod{4}$ を満たす素数 $p$ と $e \in \mathbb{N}$ に対して $\mu_{p^e}$ の弱極限）によって生成されることを確立する。
• 到達可能測度の集合が、$x = \hat{\mu}(4)$, $y = \hat{\mu}(8)$ に対して不等式 $2x^2 - 1 \leq y \leq \max(x^4, (2|x| - 1)^2)$ で定義される領域に含まれることを示す。
• 最初の幾つかのフーリエ係数への射影の幾何構造を分析し、$|x| = 1$ の近傍にカスプや特異性が現れることを明らかにする。特に、高次の素数のべきの寄与がその原因である。
• テイラー展開と三角多項式の符号解析を用いて、特に $|\hat{\mu}(4)| \leq 1/3$ の領域における到達可能領域の境界の曲率に関する不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円上のすべての対称確率測度が、原点中心の円上の格子点測度の弱極限として到達可能か？
• RQ2 フーリエ係数 $\hat{\mu}(4)$ と $\hat{\mu}(8)$ は、到達可能測度の集合にどのような制約を課えるか？
• RQ3 なぜ到達可能測度の集合に特異性やフラクタルに似た構造が現れるのか？また、それらは素数のべき半径とどのように関係しているか？
• RQ4 平方因子自由な $n$ と高次の素数のべき因子を含む $n$ において、到達可能測度の構造はどのように異なるか？
• RQ5 到達可能フーリエ係数の領域は完全に特徴づけられるか？また、それは対称測度の全集合よりも真に小さいか？

主な発見

• 到達可能測度の集合は畳み込みに関して閉じており、素数のべきによる到達可能測度（$p \equiv 1 \pmod{4}$ を満たす素数 $p$ と $e \in \mathbb{N}$ に対して $\mu_{p^e}$ の弱極限）によって生成される。
• 到達可能測度の集合は、対称確率測度の凸集合のすべての極端点を含むが、対称測度の全集合よりも真に小さい。
• 任意の到達可能測度 $\mu$ に対して、フーリエ係数は $2\hat{\mu}(4)^2 - 1 \leq \hat{\mu}(8) \leq \max(\hat{\mu}(4)^4, (2|\hat{\mu}(4)| - 1)^2)$ を満たす。等号成立時は特定の幾何的配置に対応する。
• 到達可能フーリエ係数の領域は、$|\hat{\mu}(4)| = 1$ の近傍にカスプを示しており、曲線 $y = x^4$ と $y = (2|x| - 1)^2$ が同じ接線を持つことから特異な振る舞いを示す。
• 数値実験により、$|\hat{\mu}(4)| \leq 1/3$ かつ下界 $2x^2 - 1$ より上で上界より下にある点はまれであるが存在し、領域が疎ではあるが空ではないことを示している。
• 到達可能集合のフラクタルに似た構造は、高次の素数のべきの寄与によって生じる。平方因子自由な $n$ の場合、構造はより単純で、このような特異性を有さない。