[論文レビュー] On Problems Equivalent to (min,+)-Convolution

Künnemann, Marvin, Paturi, Ramamohan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Optimization and Search Problems被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、細粒度複雑性における中心的な下界仮説として (min,+)-畳み込みを確立し、0/1ナップサック問題、無制限ナップサック問題、超加法性のテスト、木のスパarsity といった重要な問題と、それらが部分二次的同値であることを証明している。著者らは、これらの問題のいずれかについて部分二次的アルゴリズムが存在すれば、(min,+)-畳み込みの予想が反証されることを示しており、また、非決定的還元における制限を考慮すると、この仮説を SETH に置き換えることは常に可能ではないことを示している。

ABSTRACT

In the recent years, significant progress has been made in explaining apparent hardness of improving over naive solutions for many fundamental polynomially solvable problems. This came in the form of conditional lower bounds -- reductions from a problem assumed to be hard. These include 3SUM, All-Pairs Shortest Paths, SAT and Orthogonal Vectors, and others. In the (min,+)-convolution problem, the goal is to compute a sequence c, where c[k] = min_i a[i]+b[k-i], given sequences a and b. This can easily be done in O(n^2) time, but no O(n^{2-eps}) algorithm is known for eps > 0. In this paper we undertake a systematic study of the (min,+)-convolution problem as a hardness assumption. As the first step, we establish equivalence of this problem to a group of other problems, including variants of the classic knapsack problem and problems related to subadditive sequences. The (min,+)-convolution has been used as a building block in algorithms for many problems, notably problems in stringology. It has also already appeared as an ad hoc hardness assumption. We investigate some of these connections and provide new reductions and other results.

研究の動機と目的

• 細粒度複雑性における (min,+)-畳み込みを基礎的な下界仮説として確立すること。
• 0/1ナップサック問題、無制限ナップサック問題、超加法性のテストといった基本的問題と (min,+)-畳み込みとの間で部分二次的同値性を証明すること。
• SETH や OV による (min,+)-畳み込みの予想への置き換えの限界を調査すること。
• 特に決定的バージョンや非決定的アルゴリズムに対して、新たな還元を提示し、既存の還元を洗練すること。
• SAT や SETH からの決定的還元によって排除できる範囲の境界を明確にすること。

提案手法

• 新しい (min,+)-畳み込み予想を提唱：整数の列が [−W, W] の範囲にある場合、O(n²−ε polylog(W)) 時間で解けるアルゴリズムは存在しない。
• 独創的な還元を用いて、(min,+)-畳み込みと 0/1ナップサック問題、無制限ナップサック問題、超加法性のテストとの間で部分二次的同値性を確立する。
• 証明をより明確にするために MaxConv（MinConv の双対）を用い、符号の反転により結果がそのまま転送されることを理解する。
• 決定的バージョンの分析：MaxConv UpperBound と MaxConv LowerBound を導入し、これらが部分二次的還元のもとで MinConv と同値であることを示す。
• MaxConv に対して高速な O(n²/2Ω(√log n)) アルゴリズムを適用し、すべての同値問題に対して部分二次的アルゴリズムを得る。
• 非決定的アルゴリズムと NSETH を用いて、SETH からナップサック問題への還元が不適切であることを示し、SETH に基づく下界の限界を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (min,+)-畳み込みは、部分二次的還元のもとで 0/1ナップサック問題および無制限ナップサック問題と同値か？
• RQ2 SETH が使えない場合でも、(min,+)-畳み込みの予想を用いて、ナップサック問題に対する決定的で部分二次的でないアルゴリズムを排除できるか？
• RQ3 なぜ (min,+)-畳み込み仮説を SETH に置き換えることが、一部の問題では問題となるのか？
• RQ4 MaxConv UpperBound のような (min,+)-畳み込みの決定的バージョンは、元の問題と同値か？
• RQ5 (min,+)-畳み込みの予想は、直交ベクトル問題や SETH の予想よりも強いのか？

主な発見

• (min,+)-畳み込み問題は、0/1ナップサック問題、無制限ナップサック問題、超加法性のテスト、木のスパarsity と部分二次的同値である。
• 0/1ナップサック問題に対して O((n + t)²−ε) 時間のアルゴリズムが存在すれば、(min,+)-畳み込み予想が反証されることになり、新たな条件付き下界が得られる。
• 決定的還元が SETH から無制限ナップサック問題へは不適切であることが、非決定的 O(t√n log³(W)) アルゴリズムと NSETH の下で示されている。
• (min,+)-畳み込みに O(n²−ε polylog(W)) のアルゴリズムが存在しないという予想は、3SUM と APSP の予想よりも強い。
• MaxConv に対して高速な O(n²/2Ω(√log n)) アルゴリズムの存在は、超加法性のテストに対して初めて知られる部分二次的アルゴリズムを示し、木のスパarsity のための改善された正確アルゴリズムをもたらす。
• 本論文は、(min,+)-畳み込みを SETH に置き換えることが、非自明な非決定的アルゴリズムを持つ問題では常に可能でないことを示している。