[論文レビュー] On processes which are infinitely divisible with respect to time

Roger Mansuy|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、時間スケール不変性を満たすことで、Lévy過程を一般化する確率過程、すなわち時間に関して無限に分割可能な（IDT）過程を導入し、その特徴づけを行う。任意の n に対して、(X_{nt}) が n 個の独立同一分布に従う X_t のコピーの和と同一の有限次元分布を持つという性質を満たす。主な貢献は、共分散構造を用いたガウスIDT過程の完全な特徴づけであり、これはブラウン運動のスケーリング性質を満たし、Lamperti変換が定常的である過程と同値であることを示している。本稿ではさらに、IDT過程はLévy過程と1次元周辺分布を共有するが、パスの挙動において顕著に異なることがあると示している。

ABSTRACT

The aim of this short note is to present the notion of IDT processes, which is a wide generalization of Lévy processes obtained from a modified infinitely divisible property. Special attention is put on a number of examples, in order to clarify how much the IDT processes either differ from, or resemble to, Lévy processes.

研究の動機と目的

• 時間に関して無限に分割可能な（IDT）確率過程のクラスを定義し、研究すること。これは、古典的なLévy過程を越えるものである。
• 特にガウス過程の場合に、IDT過程とLévy過程との間の構造的差異および類似性を明確にすること。
• 共分散構造、Lamperti変換、およびスペクトル測度を用いて、ガウスIDT過程を完全に特徴づけること。
• IDT過程が、t=1における周辺分布が一致するLévy過程と同一の1次元有限次元分布を持つことを示すこと。
• 既存のIDT過程の時間積分やジャンプ関数型を用いて、IDT過程の新たな例を構成すること。

提案手法

• すべての n ∈ ℕ* に対して、(X_{nt}; t ≥ 0) =_d (X^{(1)}_t + ... + X^{(n)}_t; t ≥ 0) が成り立つという性質によりIDT過程を定義する。ここで X^{(i)} は X と独立同一分布に従うコピーである。
• 自己相似過程を定常過程に変換するLamperti変換（X_t → e^{-ht}X_{e^t}）を用い、スペクトル的特徴づけを可能にする。
• Bochnerの定理を適用し、定常的であるLamperti変換済み過程を、ℝ 上の正で有限かつ対称な測度 μ によって表現する。
• 時間積分を用いた例の構成：X がIDTで、μ がℝ₊ 上の測度であるとき、X^{(μ)}_t = ∫ μ(du) X_{ut} はIDTである。
• 関数 f が f(·,0) ≡ 0 を満たすものとして、f(v, ΔX_{vt}) を用いてジャンプに基づくIDT過程を定義する。
• スケーリング性質 c(αs, αt) = α c(s,t) を用いてガウスIDT過程を特徴づけ、これとブラウン運動のスケーリング性およびLamperti変換の定常性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのガウス過程がIDT性質を満たし、その共分散関数の正確な特徴づけは何か？
• RQ2 パスの正則性やサンプルパス挙動の観点から、IDT過程とLévy過程とはどのように異なるか？
• RQ3 時間積分やジャンプ関数型を用いてLévy過程からIDT性質を保つIDT過程を構成できるか？
• RQ4 Lévy過程と同一の1次元周辺分布を持つIDT過程が、有限次元分布やパス構造においてどの程度異なるか？
• RQ5 ℝ 上の正の測度を用いて、ガウスIDT過程の共分散関数のスペクトル表現はどのように表されるか？

主な発見

• すべてのLévy過程はIDTであるが、IDT過程のクラスは厳密に大きく、非マルコフ的で、独立増分を持たない過程も含む。
• 中心化されたガウス過程がIDTであるための必要十分条件は、すべての α > 0 および 0 ≤ s ≤ t に対して c(αs, αt) = α c(s,t) を満たすことである。
• ガウス過程におけるIDT性質は、ブラウン運動のスケーリング性質 (G_{αt}; t ≥ 0) =_d (√α G_t; t ≥ 0) と同値である。
• IDTガウス過程のLamperti変換は定常的であり、その共分散関数は ∫ μ(du) e^{iu|y−z|} の形をとり、μ はℝ 上の正で有限かつ対称な測度である。
• G^{(φ)}_t = ∫₀^∞ φ(u/t) dB_u で定義される過程 G^{(φ)} がIDTであるのは、φ ∈ L²(ℝ₊) のときであり、このときスペクトル測度 μ はカーネルのフーリエ変換から明示的に計算可能である。
• Lamperti変換済み過程に付随するスペクトル測度 μ は、∫ μ(dy) e^{iy√(2λ)} が正の確率変数 A のラプラス変換に一致するように定まり、μ は標準ブラウン運動 β に対して β_A の分布である。