[論文レビュー] On product spacetime with 2-sphere of constant curvature

Naresh Dadhich|ArXiv.org|Mar 8, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一定曲率の2次元球面と2次元空間の積として構成される時空を調査し、古典的アインシュタイン場方程式が唯一2つの解を許容することを示している：Nariai計量（ρ + p = 0 を満たすアインシュタイン空間）とBertotti-Robinson計量（一様な電場）。非古典的ストリングダストに対して定常エネルギー密度を有する新しい解が導出され、これは平坦時空と電磁重力双対性を持つ。Bertotti-Robinson計量における粒子の運動は、重力的および電磁的結合の結果として、z = 0の周りで安定した単振動的運動を示す。

ABSTRACT

If we consider the spacetime manifold as product of a constant curvature 2-sphere (hypersphere) and a 2-space, then solution of the Einstein equation requires that the latter must also be of constant curvature. There exist only two solutions for classical matter distribution which are given by the Nariai (anti) metric describing an Einstein space and the Bertotti - Robinson (anti) metric describing a uniform electric field. These two solutions are transformable into each other by letting the timelike convergence density change sign. The hyperspherical solution is anti of the spherical one and the vice -versa. For non classical matter, we however find a new solution, which is electrograv dual to the flat space, and describes a cloud of string dust of uniform energy density. We also discuss some interesting features of the particle motion in the Bertotti - Robinson metric.

研究の動機と目的

• 一定曲率の2次元球面と2次元空間の積である4次元時空に対するアインシュタイン方程式のすべての解を分類すること。
• このような積幾何における物理的物質内容を特定し、古典的および非古典的物質の違いを明確にすること。
• 一様エネルギー密度を有するストリングダストを記述する新しい解を同定・特徴づけ、その平坦時空との電磁重力双対性を検討すること。
• Bertotti-Robinson時空におけるテスト粒子の運動を解析し、重力的および電磁的効果の併存による振動的運動に注目すること。

提案手法

• 曲率定数 $ \rho $ を持つ $ ds^2 = c^2 dt^2 - a^2 dz^2 - \frac{1}{\rho^2}(d\theta^2 + \text{sin}^2\theta d\bar{\varphi}^2) $ の形の時空計量を仮定し、リーマン曲率からリッチテンソル成分を計算する。
• 正規直交フレーム（インデックス：$ t=0, z=1, \theta=2, \varphi=3 $）を用いて、エネルギー密度 $ \rho = R^2_2 = \lambda^2 $ および時間的収束密度 $ \rho_t = -R^0_0 $ を導出する。
• 条件 $ \rho = \lambda^2 = \pm \rho_t $ の下でアインシュタイン方程式を解き、2つの古典的解（Nariai 解：$ \rho + \rho_t = 0 $、Bertotti-Robinson 解：$ \rho = \rho_t $）を得る。
• 時空的ベクトルに沿った電場および磁場成分へのリーマンテンソルの分解により電磁重力双対性を導入し、$ E_{ab} = R_{acbd}u^c u^d $、$ \tilde{E}_{ab} = *R*_{acbd}u^c u^d $、$ H_{ab} = *R_{acbd}u^c u^d $ を定義する。
• 双対変換 $ E_{ab} \leftrightarrow \tilde{E}_{ab} $、$ H_{ab} \to H_{ab} $ を適用し、Nariai計量は反双対的であるのに対し、Bertotti-Robinson計量は自己双対的であることを示す。
• 非古典的物質に対して $ \rho_t = 0 $ と設定し、ストリングダストに対応する新しい解を導出し、これが平坦時空と電磁重力双対性を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一定曲率の2次元球面と2次元空間の積である時空に対して、アインシュタイン方程式の解として可能なのはどのようなものか？
• RQ2 古典的および非古典的物質分布が、このような積時空の幾何および曲率に与える影響は何か？
• RQ3 電磁重力双対性は、ストリングダストなどの非古典的物質に対して新たな解を生成する役割を果たすか？
• RQ4 Bertotti-Robinson時空におけるテスト粒子の運動は、一様電場および重力の影響を受けてどのように振る舞うか？
• RQ5 一様場を有する曲がった時空において、安定的かつ永久的な単振動的運動を実現できるか？その条件は何か？

主な発見

• 一定曲率の2次元球面を有する積時空 $ R^2 \times S^2 $ に対して、古典的解として唯一可能なのは、Nariai計量（$ \rho + p = 0 $ を満たすアインシュタイン空間）とBertotti-Robinson計量（$ R = 0 $ を満たす一様電場）である。
• NariaiおよびBertotti-Robinson計量は、$ \rho_t $ の符号を反転させることで互いに変換可能であり、その反計量は $ \text{sin}\theta \to \text{sinh}\theta $ に置き換えることで得られる。
• 非古典的物質に対して $ \rho_t = 0 $ と設定した結果、定常エネルギー密度 $ \rho = \lambda^2 $ を有するストリングダストの雲を記述する新しい解が得られ、これは平坦時空と電磁重力双対性を持つ。
• Bertotti-Robinson計量において、静止している粒子は常に静止を保ち、z軸に沿って運動する粒子は重力的および電磁的力のバランスにより、$ z = 0 $ の周りで永久的な単振動的運動を示す。
• Bertotti-Robinson時空内での荷電粒子に対して、有効ポテンシャル $ V = q\lambda z + (1 + \lambda^2 z^2)^{1/2} $ が導かれ、$ q^2 < 1 $ のとき安定した束縛状態が得られ、ずれた最小値の周囲で振動的運動が生じる。一方、$ q^2 > 1 $ の場合は無限にまで及ぶ負エネルギーの非束縛軌道が可能である。
• 新しいストリングダスト解は最小限の曲率を有し、ニュートン的重力が存在しないため、1ループ量子重力計算の候補として利用可能であり、既知のBertotti-Robinson計量が同様の文脈で用いられているのと同様の役割を果たす可能性がある。