[論文レビュー] On projective and affine equivalence of sub-Riemannian metrics

Frédéric Jean, Sofya Maslovskaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非共形的剛性を示さない部分リーマン幾何的計量が、余接 bundle のファイバー上で少なくとも1つの非自明な二次積分を有し、そのノルム近似に積構造を誘導することを確立する。一般に部分リーマン幾何的計量は、射影的同値関係のもとで共形的剛性を示し、アフィン同値関係のもとで剛性を示すことが示され、幾何的制御およびヤコビ曲線解析を用いて、古典的リーマン幾何の結果を部分リーマン幾何に拡張する。

ABSTRACT

Consider a smooth manifold $M$ equipped with a bracket generating distribution $D$. Two sub-Riemannian metrics on $(M,D)$ are said to be projectively (resp. affinely) equivalent if they have the same geodesics up to reparameterization (resp. up to affine reparameterization). A sub-Riemannian metric $g$ is called rigid (resp. conformally rigid) with respect to projective/affine equivalence, if any sub-Riemannian metric which is projectively/affinely equivalent to $g$ is constantly proportional to $g$ (resp. conformal to $g$). In the Riemannian case the local classification of projectively and affinely equivalent metrics is classical (Levi-Civita, Eisenhart). In particular, a Riemannian metric which is not rigid satisfies the following two special properties: its geodesic flow possesses nontrivial integrals and the metric induces certain canonical product structure on the ambient manifold. These classification results were extended to contact and quasi-contact distributions by Zelenko. Our general goal is to extend these results to arbitrary sub-Riemannian manifolds, and we establish two types of results toward this goal: if a sub-Riemannian metric is not projectively conformally rigid, then, first, its flow of normal extremals has at least one nontrivial integral quadratic on the fibers of the cotangent bundle and, second, the nilpotent approximation of the underlying distribution at any point admits a product structure. As a consequence we obtain two types of genericity results: first, we show that a generic sub-Riemannian metric on a fixed pair $(M,D)$ is projectively conformally rigid. Second, we prove that, except for special pairs $(m,n)$, every sub-Riemannian metric on a rank $m$ generic distribution in an $n$-dimensional manifold is projectively conformally rigid. For the affine equivalence in both genericity results conformal rigidity can be replaced by usual rigidity.

研究の動機と目的

• 射影的同値およびアフィン同値に関する古典的リーマン幾何の結果を部分リーマン幾何に拡張すること。
• 幾何的および代数的障害を特定することで、非剛性な部分リーマン計量を特徴付けること。
• 部分リーマン設定における共形的剛性および標準的剛性の一般性に関する結果を確立すること。
• ヤコビ曲線の構造と、部分リーマン計量の同値類を決定するその役割を分析すること。
• 非共形的剛性を示さない計量は、非自明な二次第一積分を有し、分解可能なノルム近似を持つ必要があることを証明すること。

提案手法

• ポントリャーギン最大原理およびヤコビ曲線を用いて、測地線および正規外部極値を分析する。
• 射影的同値およびアフィン同値の部分リーマン計量を研究するために、軌道的微分同相変換技術を適用する。
• 同値および可積分性の条件を導出するために、基本的な代数的系を用いる。
• 局所的分布構造およびその同値類を研究するために、ノルム近似を用いる。
• 余接ベクトルが豊富で、2-意思決定集合が開かつ稠密であることを示すために、準同型写像の議論を用いる。
• 指数写像および摂動論を用いて、幾何的および代数的条件 (H.1)–(H.3) を満たす有限個の点の集合を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの部分リーマン計量がいつ射影的同値となるか。
• RQ2 非共形的剛性を示さない部分リーマン計量が、どのような幾何的および代数的構造を有する必要があるか。
• RQ3 二次第一積分の存在が、ノルム近似の構造とどのように関係するか。
• RQ4 部分リーマン計量が射影的同値およびアフィン同値に関して、一般にどのような振る舞いを示すか。
• RQ5 部分リーマン計量の剛性は、そのノルム近似の分解可能性の観点から特徴付けられるか。

主な発見

• 射影的同値関係において共形的剛性を示さない部分リーマン計量は、余接 bundle のファイバー上で少なくとも1つの非自明な二次積分を有する。
• 任意の点における非共形的剛性を示さない部分リーマン計量のノルム近似は、標準的な積構造を有する。
• 多様体上の固定された分布に対して、一般の部分リーマン計量は射影的同値関係のもとで共形的剛性を示す。
• 次元 $ n $ の多様体上のランク $ m $ の一般の分布に対して、特別な $ (m,n) $ 組を除き、すべての部分リーマン計量は射影的同値関係のもとで共形的剛性を示す。
• アフィン同値関係のもとで、共形的剛性は一般の設定において標準的剛性に強化される。
• N = n(n+1)/2 個の 2-意思決定点の存在は、二次第一積分および同値に関する主要な命題の妥当性を保証する。