[論文レビュー] On projective two-dimensional Finsler spaces with special metric

V. K. Kropina|ArXiv.org|May 30, 2006

Advanced Differential Geometry Research被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、2次元射影的フィンスラー空間を、2つの特別なフィンスラー計量（有理的二次/一次形式および3次同次形式）で分類する。射影的条件（射影的曲率テンソルの消滅）を用いて、このような空間が直線的測地線を持つときかつそのときに限りミンコフスキー空間であることを証明し、さらに、これらの計量を持つ非ミンコフスキー射影的フィンスラー空間は定曲率を持てないことを示している。

ABSTRACT

We present the English translation of the paper where one special class of Finsler spaces was introduced. Now this class is known as so called "Kropina spaces". The article was written in 1958 and published in Russian in "Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu" ("Workshops of the Seminar in vector and tensor Analysis"), vol. XI, 1961.

研究の動機と目的

• 計量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ を持つ2次元フィンスラー空間で、射影的（すなわち、直線的測地線を持つ）であるものを特定すること。
• このような空間がミンコフスキー空間に退化するための必要十分条件を確立すること。
• 計量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ を持つ射影的フィンスラー空間が定曲率を持つかどうかを調査すること。
• 微分方程式を用いて、射影的条件がこれらの特別な計量に与える幾何的意味を分析すること。

提案手法

• 射影的座標系において測地線が直線となるための計量成分が満たすべき偏微分方程式系（6）を導出する。
• 係数 $ D \neq 0 $ を仮定して、計量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ に対する一般系（I）を、解析を簡略化する等価系（I'）に還元する。
• 計量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ に射影的条件を適用し、$ B \neq 0 $ を仮定して係数 $ A, B, C, D $ に関する複雑な偏微分方程式系を導出する。
• 例外的な場合 $ B = 0 $ を別個に分析し、この場合でも結果として得られる空間は依然としてミンコフスキー空間であることを示す。
• 射影的条件から導かれる関数 $ p $ を含む系（III）を用いて、$ B \neq 0 $ の場合、すべてのこのような空間がミンコフスキー空間であることを証明する。
• 導出された偏微分方程式系と曲率解析を用いて、与えられた計量を持つ非ミンコフスキー射影的フィンスラー空間の曲率スカラーが定数でないことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ を持つ2次元フィンスラー空間で、射影的（すなわち、直線的測地線を持つ）であるものはどれか？
• RQ2 この計量を持つフィンスラー空間がミンコフスキー空間に退化する条件は何か？
• RQ3 計量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ を持つ2次元射影的フィンスラー空間が定曲率を持つことができるか？
• RQ4 与えられた3次計量を持つ非ミンコフスキーフィンスラー空間が射影的であることは可能か？
• RQ5 判別式 $ R = (AB - DC)^2 - 4(AD - C^2)(CB - D^2) \neq 0 $ が空間の性質を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 計量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ を持ち、直線的測地線を持つ2次元フィンスラー空間がミンコフスキー空間であることは、係数が導出された系（I'）および非退化条件 $ \Delta = AD^2 - BD + C \neq 0 $ を満たすときかつそのときに限り成立する。
• 計量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ を持つ非ミンコフスキー射影的フィンスラー空間の曲率スカラーは定数にはならない。
• 3次計量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ の場合、$ B \neq 0 $ のすべての射影的空間は、関数 $ p $ が系（III）のミンコフスキー条件を満たすことを検証することでミンコフスキー空間であることが示された。
• 例外的な場合 $ B = 0 $ でさえも、3次計量を持つフィンスラー空間は依然としてミンコフスキー空間であることが、射影的条件の直接積分により確認された。
• 解析により、判別式 $ R \neq 0 $ で非ゼロである3次計量を持つ射影的フィンスラー空間で、ミンコフスキー空間でないものは存在しないことが確認された。
• 本稿は、与えられた計量と直線的測地線を持つフィンスラー空間がミンコフスキー空間であることは、かつそのときに限り、平坦（曲率がゼロ）であるときに限られ、定曲率を持つ非ミンコフスキー例は存在しないと結論づけた。