[論文レビュー] On projective varieties $n$-covered by curves of degree $δ$

Luc Pirio, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、次数δの曲線によってn-被覆される複素射影多様体$¯{X}(r+1,n,δ)$を分類し、カステルヌオヴォ型の境界を用いてその線形スパンの次元に対する鋭い上界を確立する。主な結果は、極値的多様体が有理正規スクリューまたは立方体ジュリアン代数上のねじれた立方曲線であることを特定するもので、これらの幾何的対象が2次-2次クリメナ変換とジュリアン代数と関連しているという予想を提示する。

ABSTRACT

As proved recently in [PT], for varieties $X^{r+1}\subset \mathbb P^N$ such that through $n\geq 2$ general points there passes an irreducible curve $C$ of degree $δ\geq n-1$ we have $N\leq π(r,n,δ+r(n-1)+2)$, where $π(r,n,d)$ is the Castelnuovo-Harris bound function for the geometric genus of an irreducible non-degenerate variety $Y^r\subset\mathbb P^{n+r-1}$ of degree $d$. A lot of examples of varieties as in the title and attaining the previous bound for the embedding dimension are constructed from Castelnuovo varieties and were thus dubbed {\it of Castelnuovo type} in [PT], where it is also proved that all extremal varieties as above are of this kind, except possibly when $n>2$, $r>1$ and $δ=2n-3$. One of the main results of the paper is the classification of extremal varieties $X^{r+1}\subset \mathbb P^{2r+3}$ 3-covered by twisted cubics and not of Castelnuovo type. Interesting examples are provided by the so called {\it twisted cubics over complex Jordan algebras of rank 3}, as pointed out by Mukai. By relating to an extremal variety 3-covered by twisted cubics, via tangential projection, a quadro-quadric Cremona transformation in $\mathbb P^r$ we are able to classify all these object either for $r\leq 4$ or under the smoothness assumption. In the last case we obtain that they are either smooth rational normal scrolls (hence of Castelnuovo type) or the Segre embeddings of $\p^1 imes Q^r$ or one of the four Lagrangian Grassmannians. We end by discussing some open problems pointing towards the equivalence of these apparently unrelated objects: extremal varieties 3-covered by twisted cubics, quadro-quadric Cremona transformations of $\mathbb P^r$ and complex Jordan algebras of dimension $r+1$ and of rank three.

研究の動機と目的

• 複素非特異射影多様体$X(r+1,n,\\delta) \subset \mathbb{P}^N$を、非特異曲線による次数δのn-被覆として分類すること、特に極値の場合を対象とする。
• カステルヌオヴォ＝ハリスの境界を用いて、このような多様体の線形スパンの次元に対する鋭い上界を確立すること。
• 極値的多様体$\overline{X}(r+1,n,\delta)$の構造を、特に開いている場合$\delta = 2n-3$において、$n=3$の場合に分類すること。
• これらの多様体と立方体ジュリアン代数、および$\mathbb{P}^r$上の2次-2次クリメナ変換との関係を調査すること。
• 予想として、$\overline{X}(r+1,3,3)$、立方体ジュリアン代数上のねじれた立方曲線、および$\mathbb{P}^r$上の2次-2次クリメナ変換の間で、射影的同倣が成立することを提示すること。

提案手法

• 包絡空間を用い、それらからの反復射影を用いて、$\dim\langle X(r+1,n,\delta)\rangle \leq \overline{\pi}(r,n,\delta) - 1$という次元の上界を導出する。ここで$\overline{\pi}(r,n,\delta) = \pi(r,n,d)$であり、$d = \delta + r(n-1) + 2$である。
• カステルヌオヴォ理論およびカステルヌオヴォ多様体の理論を応用し、極値例$\overline{X}(r+1,n,\delta)$の構成と分類を行う。
• $X$上の線形系$|D|$の分析において、$(D\cdot C) = \delta$を満たすカルティエ除集合$D$に対して、$h^0(\mathcal{O}_X(D)) \leq \overline{\pi}(r,n,\delta)$が成り立ち、等号が成り立つのは$X$が$\overline{X}(r+1,n,\delta)$に双有理写像するときであることを証明する。
• ネフ性条件を用いて、$D^{r+1} \leq \delta^{r+1}/(n-1)^r$という次数の上界を導出する。
• $\delta$-バーロネーゼ埋め込みおよび$\mathbb{P}^1 \times Q^r$のセグレ埋め込みを用いた例の幾何的構成。
• 最大ランクのウェブの代数的化およびウェブ幾何学の結果を活用し、分類をクリメナ変換に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線の次数δによるn-被覆を受ける多様体$\overline{X}(r+1,n,\delta)$の完全な射影的分類は何か？
• RQ2 線形スパンの次元が最大に達する極値的多様体$\overline{X}(r+1,n,\delta)$は、カステルヌオヴォ多様体および有理正規スクリューとどのように関係しているか？
• RQ3 すべてのカステルヌオヴォ型でない$\overline{X}(r+1,3,3)$多様体は、立方体ジュリアン代数上のねじれた立方曲線と射影的に同値か？
• RQ4 任意の$\mathbb{P}^r$上の2次-2次クリメナ変換は、ある二次曲面ヒューパーヒューパー面上からの双有理射影として実現可能であり、$\overline{X}(r+1,3,3)$とどのように関係するか？
• RQ5 $\overline{X}(r+1,3,3)$、次元$r+1$の立方体ジュリアン代数、および$\mathbb{P}^r$上の2次-2次クリメナ変換という3つの数学的対象は、同型または射影的同値性の意味で一致するか？

主な発見

• 任意の$X(r+1,n,\delta)$の線形スパンについて、$\dim\langle X(r+1,n,\delta)\rangle \leq \overline{\pi}(r,n,\delta) - 1$が成り立ち、等号が成り立つのは$X$が$\overline{X}(r+1,n,\delta)$と射影的に同値であるときである。
• $X$上のカルティエ除集合$D$で$(D\cdot C) = \delta$を満たすものに対して、完全線形系の次元は$h^0(\mathcal{O}_X(D)) \leq \overline{\pi}(r,n,\delta)$を満たし、等号が成り立つのは$X$が$\overline{X}(r+1,n,\delta)$に双有理写像するときである。
• $h^0(\mathcal{O}_X(D)) = \overline{\pi}(r,n,\delta)$のとき、多様体$X$は有理的であり、一般の$n$点を通る唯一の滑らかな有理曲線$C$が存在し、$(D\cdot C) = \delta$を満たす。
• $D$がネフであるならば、$D^{r+1} \leq \delta^{r+1}/(n-1)^r$が成り立ち、これは$n=2$のときのファノの古典的結果を一般化する。
• $n=3$、$r=3$、$\delta=3$のとき、$\overline{X}(4,3,3) \subset \mathbb{P}^9$の分類により、2種類のタイプが得られる：次数6の滑らかな有理正規スクリュー（例：$S_{1113}$ または $S_{1122}$）または立方体ジュリアン代数上のねじれた立方曲線。
• $\mathbb{P}^3$上のタイプ$(2,2)$の2次クリメナ変換の分類により、それらは線形的であるか、または$\mathbb{C}^4$上に存在する7つの立方体ジュリアン代数に関連していることが示され、$r=3$の場合に予想が確認された。