[論文レビュー] On projectivized vector bundles and positive holomorphic sectional curvature

A. Rodriguez Alvarez, Gordon Heier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Hitchinの構成を一般化し、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つコンpactケーラー多様体上の任意の正則ベクトル束の射影化が、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つケーラー計量を備えることを証明する。証明では、射影化 bundle 上に自然なヘルメートィアン計量を導入し、パrameter λ が十分に大きい場合に、点における曲率テンソルの推定により、正則ホロモルフィック断面曲率が正のままであることを示している。

ABSTRACT

We generalize a construction of Hitchin to prove that, given any compact Kähler manifold $M$ with positive holomorphic sectional curvature and any holomorphic vector bundle $E$ over $M$, the projectivized vector bundle ${\mathbb P}(E)$ admits a Kähler metric with positive holomorphic sectional curvature.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体上で正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つ任意の射影化ベクトル束に対して、Hirzebruchの曲面に関するHitchinの結果を一般化すること。
• 正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つケーラー計量を備える多様体の集合 $\mathcal{H}_n^\prime$ に属する新たなコンパクト複素多様体のクラスを確立すること。
• バンドル構成を用いて、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つ多様体の新しい例を構成的に生成する方法を提供すること。
• 正の正則ホロモルフィック断面曲率が、正則ベクトル束の射影化においてどのように安定するかを調査すること。
• 高次元における正の正則ホロモルフィック断面曲率の幾何学的・位相的意味を理解するための基盤を築くこと。

提案手法

• パrameter $\lambda > 0$ が十分に大きいとき、$P = \mathbb{P}(E)$ 上に閉じた (1,1)-形式 $\omega_G = \lambda \pi^*\omega_g + \sqrt{-1} \partial\bar\partial \log h(v,\bar v)$ を構成する。
• 多様体 $M$ 上のケーラー計量 $g$ と束 $E$ 上のヘルメートィアン計量 $h$ から誘導される $P$ 上のヘルメートィアン計量 $G$ を用いる。
• 局所座標を用い、計量 $h$ の二階微分を用いて、点 $p \in P$ における曲率テンソル $R$ を計算する。
• 底面方向とファイバー方向の成分を有する非ゼロの $(1,0)$ ベクトル $V = X + U$ に対して、正則ホロモルフィック断面曲率 $R_{V\bar V V\bar V}$ を評価する。
• 曲率を推定する際、$R_{V\bar V V\bar V} \geq (\lambda H_0 - C)|X|^4 - 8C|X|^2|U|^2 + 2|U|^4 - 4C|X|^3|U|$ の形に分解し、$H_0 > 0$ は $g$ の最小正則ホロモルフィック断面曲率を表す。
• 十分に大きな $\lambda$ に対して、すべての非ゼロ $V$ に対してこの式が正であることを示し、$P$ 上での正の正則ホロモルフィック断面曲率を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hirzebruchの曲面におけるHitchinの正の正則ホロモルフィック断面曲率の構成は、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つコンパクトケーラー多様体上の任意の射影化ベクトル束へ一般化可能か？
• RQ2 正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つコンパクトケーラー多様体 $M$ 上の正則ベクトル束 $E$ の射影化 $\mathbb{P}(E)$ は、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つケーラー計量を備えるか？
• RQ3 パrameter $\lambda$ がどのような条件下で、$\mathbb{P}(E)$ 上の誘導計量の正則ホロモルフィック断面曲率が正のままであるか？
• RQ4 基底多様体とファイバー束の曲率が、全空間の正則ホロモルフィック断面曲率にどのように作用するか？
• RQ5 正の正則ホロモルフィック断面曲率が成り立つ場合、その多様体の点のブローモー卜も正のスカラー曲率を持つ計量を備えることができるか？

主な発見

• 任意のコンパクトケーラー多様体 $M$ で正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つものに対して、その正則ベクトル束 $E$ の射影化 $\mathbb{P}(E)$ は、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つケーラー計量を備える。
• この構成は、パrameter $\lambda$ を用いた $\mathbb{P}(E)$ 上の計量の1パラメータ族に依存し、$\lambda$ が大きいほど基底計量の寄与が強くなり、十分に大きな $\lambda$ で正の正則ホロモルフィック断面曲率が保証される。
• 誘導計量の正則ホロモルフィック断面曲率は、接ベクトルの底面成分とファイバー成分に関する四次形式で下から抑えられ、$\lambda$ が十分に大きいと正の値を取る。
• この結果は、$G_k(E)$ と表されるグラスマン多様体バンドルに対しても拡張可能であり、$\mathbb{P}(\Lambda^k E)$ へのホロモルフィックかつ等長埋め込みが可能であるため、正の正則ホロモルフィック断面曲率を持つ計量を備える。
• 系1.3では、$\dim \mathbb{P}(E) > 2$ のとき、$\mathbb{P}(E)$ の有限個の点のブローモー卜が正のスカラー曲率を持つケーラー計量を備えることが示されている。
• 証明は、束 $E$ 上のヘルメートィアン計量 $h$ の二階微分を用いた点における曲率推定に依拠しており、曲率式の支配的項が $\lambda H_0$ に支配されることを示し、ここで $H_0 > 0$ は基底の最小正則ホロモルフィック断面曲率を表す。