[論文レビュー] On Properties of Nests: Some Answers and Questions

Kyriakos Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特にネストと相互に絡む家族、および位相的性質、特に順序可能性と位相群との関係について検討する。アレクサンドロフ位相と下部集合を通じて相互に絡むネストを特徴づけ、ネストと有界集合、群演算との関連を示し、位相群をネストの性質によって特徴づけるという未解決の問題を提起する。

ABSTRACT

By considering nests on a given space, we explore order-theoretical and topological properties that are closely related to the structure of a nest. In particular, we see how subbases given by two dual nests can be an indicator of how close or far are the properties of the space from the structure of a linearly ordered space. Having in mind that the term interlocking nest is a key tool to a general solution of the orderability problem, we give a characterization of interlocking nest via closed sets in the Alexandroff topology and via lower sets, respectively. We also characterize bounded subsets of a given set in terms of nests and, finally, we explore the possibility of characterizing topological groups via properties of nests. All sections are followed by a number of open questions, which may give new directions to the orderability problem.

研究の動機と目的

• ネスト（特に $T_0$-分離および $T_1$-分離ネスト）が空間内の順序論的構造と位相的構造をどのように反映するかを調査すること。
• アレクサンドロフ位相における閉集合と下部集合を通じて、相互に絡むネストを特徴づけ、順序可能性問題の一般解法を前進させること。
• ネストが有界部分集合の特徴づけおよび位相群の構造に果たす役割を調査すること。
• 順序論的道具を用いて、順序可能性問題と群位相の未解決の研究を導く可能性がある未解決の問題を提起すること。

提案手法

• ネスト（部分集合の全順序族）の概念を用い、ある $L \in \mathcal{L}$ に対して $x \in L$ かつ $y \notin L$ であるとき $x \triangleleft_{\mathcal{L}} y$ と定義することで、集合上に部分順序を誘導する。
• アレクサンドロフ位相を用いて、閉集合と下部集合を通じて相互に絡むネストを特徴づけ、位相と順序理論を結びつける。
• 集合 $T$ が $T = \bigcap\{S : T \subset S, S \in \mathcal{S} \setminus \{T\}\}$ および $T = \bigcup\{S : S \subset T, S \in \mathcal{S} \setminus \{T\}\}$ を満たすような相互に絡む家族 $\mathcal{S}$ の概念を導入する。
• ある $S \in \mathcal{S}$ に対して $x \in S$ かつ $y \notin S$ であるとき $x \triangleleft_{\mathcal{S}} y$ と定義することで、家族 $\mathcal{S}$ が誘導する順序を導入し、その性質を研究する。
• 左家族 $\mathcal{L}$ と右家族 $\mathcal{R}$ が $L^{-1} \in \mathcal{R}$ および $R^{-1} \in \mathcal{L}$ を満たすように構成することで、位相群を解析する。これにより、逆元写像と乗法の連続性が保証される。
• 逆像の議論を用いて群演算の連続性を証明する：乗法 $f(x,y) = x*y$ に対して、$f^{-1}(L) = \bigcup_{x*y \in L} [\pi_1^{-1}(L_x) \cap \pi_2^{-1}(L_y)]$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互に絡むネストは、アレクサンドロフ位相と下部集合を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 ある集合の有界部分集合はネストを用いて特徴づけられるか？
• RQ3 ネストにどのような条件を課えると、群演算が誘導された位相で連続になるか？
• RQ4 ネストおよびその双対の性質を用いて、位相群の構造を完全に特徴づけられるか？
• RQ5 与えられた群位相と同値な位相を誘導するような、集合族の最小の順序論的条件は何か？

主な発見

• 相互に絡むネスト $\mathcal{S}$ は、$T = \bigcap\{S : T \subset S, S \in \mathcal{S} \setminus \{T\}\}$ および $T = \bigcup\{S : S \subset T, S \in \mathcal{S} \setminus \{T\}\}$ を満たす。これは、順序可能性問題の一般解法のための構造的基準を提供する。
• 偏順序集合上のアレクサンドロフ位相を用いることで、閉集合を用いて相互に絡むネストを特徴づけられる：集合 $T$ がアレクサンドロフ位相で閉集合であることは、$T$ が下部集合であり、かつ相互に絡む条件を満たすことと同値である。
• ネスト $\mathcal{L}$ が $T_0$-分離であることは、誘導された順序 $\triangleleft_{\mathcal{L}}$ が線形順序であることと同値である。これは、分離公理と順序構造との関連を示す。
• 群 $G$ に対して、$L^{-1} \in \mathcal{R}$ および $R^{-1} \in \mathcal{L}$ を満たす双対家族 $\mathcal{L}$ と $\mathcal{R}$ が存在するとき、逆元写像 $f(x) = x^{-1}$ は $\mathcal{L} \cup \mathcal{R}$ で生成される位相で連続である。
• $\mathcal{L}$ が局所的条件 $x*y \in L \Rightarrow \exists L_x, L_y \in \mathcal{L}$ で $x \in L_x$, $y \in L_y$, かつ $L_x * L_y \subset L$ を満たすならば、乗法は $\mathcal{L} \cup \mathcal{R}$ で生成される位相で連続である。
• 乗法の逆像は $f^{-1}(L) = \bigcup_{x*y \in L} [\pi_1^{-1}(L_x) \cap \pi_2^{-1}(L_y)]$ と表され、これは積位相における群演算の連続性を証明する。