[論文レビュー] On property (T) for $\operatorname{Aut}(F_n)$ and $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$

Marek Kaluba, Dawid Kielak+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、n ≥ 6 のすべての n に対して Aut(Fₙ) がカジダンの性質 (T) を持つことを確立し、先行研究と組み合わせることで n ≥ 5 に対する分類を完了する。群代数におけるラプラシアン要素の二乗和分解を半定値最適化を用いて行い、カジダン定数の明示的下界を導出し、SAut(Fₙ) および SLₙ(ℤ) のカジダン半径がそれぞれ 2 以下であることを示す。

ABSTRACT

We prove that $\operatorname{Aut}(F_n)$ has Kazhdan's property (T) for every $n \geqslant 6$. Together with a previous result of Kaluba, Nowak, and Ozawa, this gives the same statement for $n\geqslant 5$. We also provide explicit lower bounds for the Kazhdan constants of $\operatorname{SAut}(F_n)$ (with $n \geqslant 6$) and of $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ (with $n \geqslant 3$) with respect to natural generating sets. In the latter case, these bounds improve upon previously known lower bounds whenever $n > 6$.

研究の動機と目的

• n ≥ 6 のとき Aut(Fₙ) がカジダンの性質 (T) を持つことを確立し、n ≥ 5 に対する分類を完了する。
• SAut(Fₙ) (n ≥ 6) および SLₙ(ℤ) (n ≥ 3) の自然な生成集合に関するカジダン定数の明示的下界を提供する。
• SAut(Fₙ) および SLₙ(ℤ) のカジダン半径が、それぞれ n ≥ 6 および n ≥ 3 の範囲で 2 以下であることを示す。
• 交代群による対称化を用いて、群代数における二乗和分解の手法を無限族の群へ拡張する。
• Julia の SCS ソルバおよび JuMP モデリング言語を用いた半定値プログラミングにより、数値的結果を検証・再現する。

提案手法

• Ozawa による性質 (T) の特徴付け（Δ² − λΔ = ∑ ξᵢ*ξᵢ in ℝG なる二乗和分解の存在）を用いる。
• 交代群の基底要素への作用を用いた対称化技術を適用し、問題を有限次元群代数に還元する。
• 半定値プログラミングを用いて、群代数要素の二乗和分解に対応する正定値行列を数値的に求める。
• Julia における SCS ソルバおよび JuMP を用いて、ℝ[SAut(Fₙ)] および ℝ[SLₙ(ℤ)] の要素に対する近似二乗和分解を計算する。
• 命題 4.1 を適用し、n=5 で確認された一つの局所的分解に基づき、n ≥ 103 に対するすべての n に対してグローバルな性質 (T) を拡張する。
• 事前に計算されたデータおよび Jupyter ノートブック（SLₙ(ℤ) および SAut(Fₙ) 用）を用いて、軌道分解および乗法表を含め、結果の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 6 のとき Aut(Fₙ) はカジダンの性質 (T) を満たすか？
• RQ2 自然な生成集合に関する SAut(Fₙ) および SLₙ(ℤ) のカジダン定数の明示的下界は何か？
• RQ3 n ≥ 6 および n ≥ 3 の範囲で、それぞれ SAut(Fₙ) および SLₙ(ℤ) のカジダン半径は 2 以下に抑えられるか？
• RQ4 交代群による対称化を用いて、群代数における二乗和分解を無限族の群に拡張できるか？
• RQ5 数値的半定値最適化は、Aut(Fₙ) や SLₙ(ℤ) のような群に対して、どれほど高い信頼性で性質 (T) を検証できるか？

主な発見

• n ≥ 6 のすべての n に対して Aut(Fₙ) はカジダンの性質 (T) を持つ。したがって、先行研究と組み合わせることで n ≥ 5 に対しても成立する。
• SAut(Fₙ) (n ≥ 6) および SLₙ(ℤ) (n ≥ 3) のカジダン定数の明示的下界が提供され、n > 6 の場合に以前の境界を改善する。
• SAut(Fₙ) および SLₙ(ℤ) のカジダン半径は、それぞれ n ≥ 6 および n ≥ 3 の範囲で 2 以下である。
• I·SAut(F₅) 内の要素 Adj₅ + 2Op₅ − 0.28Δ に対して、二乗和分解が明示的に計算され、n ≥ 103 の SAut(Fₙ) に対する性質 (T) の確認が得られた。
• Adj₅ + 1.5Op₅ の最適化問題は数値的に良好に条件付けられており、小さい n よりも速く収束し、より大きな群に対して安定性が向上していることが示された。
• すべての計算を検証可能なオープンソースの Julia コード、Jupyter ノートブック、および Zenodo にホスティングされたデータを用いて、結果の再現が可能である。