[論文レビュー] On provability logics with linearly ordered modalities

Lev D. Beklemishev, David Fernández–Duque+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の線形順序集合 $\Lambda$ に対して、Japaridze の論理 ${\sf GLP}_{\omega}$ を一般化した、証明可能性論的論理 ${\sf GLP}_{\Lambda}$ を導入する。この論理に対して、${\sf GLP}_{\Lambda}$ を ${\sf GLP}_{\omega}$ に還元する有限的還元法を提供し、モダリティ語における順序 $<_{0}$ の非反射性について構成的証明を可能にするとともに、${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない部分論理についての決定可能性と制限付き公理系の確立を達成する。

ABSTRACT

We introduce the logics GLP(Λ), a generalization of Japaridze's polymodal provability logic GLP(ω) where Λis any linearly ordered set representing a hierarchy of provability operators of increasing strength. We shall provide a reduction of these logics to GLP(ω) yielding among other things a finitary proof of the normal form theorem for the variable-free fragment of GLP(Λ) and the decidability of GLP(Λ) for recursive orderings Λ. Further, we give a restricted axiomatization of the variable-free fragment of GLP(Λ).

研究の動機と目的

• 線形順序集合 $\Lambda$ を用いた Japaridze の多モダリティ証明可能性論的論理 ${\sf GLP}_{\omega}$ の一般化を図り、より強い証明理論的体系の分析を可能にする。
• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ におけるモダリティ語上の順序 $<_{0}$ の非反射性について、健全性の仮定や複雑な意味論に依存せずに、有限的かつ純粋にモダリスティックな証明を提供する。
• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の決定性を、${\sf GLP}_{\omega}$ への還元を用いて、再帰的順序 $\Lambda$ に対して確立する。
• 従来のものよりもより制限的かつ洗練された公理系を、${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない部分論理に与える。
• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の枠組みを、整列順序でない線形順序 $\Lambda$ にまで拡張し、証明理論的応用への適用範囲を広げる。

提案手法

• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の論理式を、${\sf GLP}_{\omega}$ の等価な論理式に変換する還元技術を開発し、証明可能性を保存するとともに、有限的推論を可能にする。
• この還元を用いて、$<_{0}$ の非反射性が証明され、既知の ${\sf GLP}_{\omega}$ における有限的証明が活用される。
• 変数を含まない論理式における正規形定理を、非反射性に依存しない形で定式化する。
• 還元法を用いて、${\sf GLP}_{\Lambda}$ が任意のモダリティ部分集合への制限について保存的であることを示す。
• トポロジカルモデルや Kripke モデルを避ける戦略を採用し、代わりに記号的変形とモダリティの分配法則を用いる。
• 制限付き公理系は、正規形構成の精錬と、従来のシステムからの冗長な公理の削除によって導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\sf GLP}_{\Lambda}$ のモダリティ語における順序 $<_{0}$ の非反射性は、健全性や意味論的仮定に依存せず、有限的かつ純粋にモダリスティックな方法で証明可能か？
• RQ2 再帰的順序 $\Lambda$ に対して、${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない部分論理は決定可能であり、${\sf GLP}_{\omega}$ への還元によってこれを示せるか？
• RQ3 従来のものよりもより制限的かつ洗練された公理系を、${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない部分論理に与えることができるか？
• RQ4 ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の枠組みは、整列順序でない線形順序 $\Lambda$ に対しても、証明理論的性質を保ちつつ拡張可能か？
• RQ5 ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の正規形定理は、非反射性のような仮定を避ける、正の構成的アプローチで再導出可能か？

主な発見

• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ のモダリティ語における順序 $<_{0}$ は非反射的であり、これは ${\sf GLP}_{\omega}$ への有限的還元によって証明され、健全性や意味論に依存しない。
• 再帰的順序 $\Lambda$ に対して、${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない部分論理は、${\sf GLP}_{\omega}$ への還元の結果として決定可能である。
• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ は、任意のモダリティ部分集合への制限について保存的であり、全論理において新たな定理が、その断片から導出可能でないことを意味する。
• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない部分論理について、冗長な公理を排除した制限付き公理系が提供された。
• ${\sf GLP}_{\Lambda}$ の変数を含まない論理式における正規形定理は、正の方法で再導出され、導出を簡略化し、不要な仮定を排除した。
• 結果は、$\Lambda$ が整列順序でなくてもよい一般の線形順序集合であるという設定で確立されており、証明理論的応用の枠組みの適用範囲を拡大した。