[論文レビュー] On Pulsating Strings in Schrödinger Backgrounds

H. Dimov, M. Radomirov+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、五次元シュレーディンガー時空と五次元球面を伴う背景において、脈動するストリングの振る舞いを調査し、半古典的量子化を用いて、双対的なデュアル・ダイポールCFTにおける異常次元に対応するエネルギー補正を導出する。著者らはシュレーディンガー部における周期的運動を示す正確な古典ストリング解を構築し、脈動条件の下で運動方程式を解き、楕円関数および特殊関数を用いて波動関数とエネルギー準位を導出する。これにより、非相対論的状況下でのAdS/CFT双対性の定量的検証がなされる。

ABSTRACT

According to AdS/CFT duality semi-classical strings in the Schrödinger spacetime is conjectured to be a holographic dual to dipole CFT. In this paper we consider pulsating strings in five-dimensional Schrödinger space times five-sphere. We have found classical string solutions pulsating entirely in the Schrödinger part of the background. We quantize the theory semi-classically and obtain the wave function of the problem. We have found the corrections to the energy, which by duality are supposed to give anomalous dimensions of certain operators in the dipole CFT.

研究の動機と目的

• 五次元シュレーディンガー時空と五次元球面を伴う背景における古典的脈動ストリング解を調査し、AdS/CFT双対性の非相対論的拡張を提示すること。
• シュレーディンガー背景におけるストリング状態とダイポール conformal field theories (CFT) におけるオペレーターとのホログラフィック対応関係を確立すること。
• 脈動ストリングの半古典的量子化を実行し、エネルギー準位の補正を計算すること。
• 系の波動関数を導出し、エネルギー補正が双対ゲージ理論における異常次元とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• ストリングがシュレーディンガー部において脈動する場合の運動方程式を解き、ヴァイラソロ条件からの制約を適用する。
• 脈動条件を適用して、角度変数および半径変数に関する常微分方程式系に簡略化する。
• 楕円関数（例：ヤコビの楕円正弦関数）を用いて半径座標 $\mu$ の方程式を解き、$\sin\mu = \pm \mathrm{sn}(|N|\tau, k)$ を得る。
• 運動量の保存量を用いて $\theta$-依存性を統合し、逆双曲正 tangent 関数と周期性制約を含む解が得られる。
• 脈動系の半古典的量子化から波動関数を導出する。
• AdS/CFT双対性を介して、ストリング側のエネルギー補正を双対ダイポールCFTにおける異常次元と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 五次元シュレーディンガー時空と五次元球面 $\textrm{S}^5 \times \textrm{Sch}_5$ の幾何における、ストリングが完全にシュレーディンガー部内を脈動する場合の古典的解は何か？
• RQ2 シュレーディンガー時空における脈動ストリングに対して、半古典的量子化をどのように適用し、エネルギー補正を計算できるか？
• RQ3 脈動ストリング系の明示的な波動関数の形は何か？
• RQ4 ストリング側で得られるエネルギー補正は、双対ダイポールCFTにおけるオペレーターの異常次元とどのように一致するか？
• RQ5 特殊関数 $\mathrm{sn}(x,k)$ や $\mathrm{arctanh}$ は、ストリングの周期的運動を記述するために果たす役割は何か？

主な発見

• 半径座標 $\mu$ は $\mu(\tau) = \pm \arcsin(\mathrm{sn}(|N|\tau, k))$ として解かれ、$k^2 = \frac{(n^3)^2 - (n^2)^2}{4N^2}$ を満たし、ヤコビの楕円関数によって支配される周期的振動を示す。
• $n^2 = n^3 = 0$ の場合、$\mu(\tau)$ の解は $\mu(\tau) = \arccos(C_1\cos(N\tau) + C_2\sin(N\tau))$ となり、周期性のためには $C_1^2 + C_2^2 < 1$ が必要である。
• $\theta$-運動は $\theta(\tau) = \frac{D}{N\sqrt{C_1^2 + C_2^2 - 1}} \cdot \mathrm{arctanh}\left( \frac{C_1C_2 + (C_2^2 - 1)\tan(N\tau)}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2 - 1}} \right)$ として統合され、周期性制約のもとで有効である。
• エネルギー補正は半古典的量子化から導出され、$N^2 = \kappa^2 + (n^1)^2\left(\frac{1}{\alpha'^2} - 1\right)$ と表され、ストリングの力学と双対CFTを結びつける。
• 系の波動関数は、$\mu$-座標におけるシュレーディンガー型方程式の解から構成され、$\sin^2\mu$ 項によって形状が決まるポテンシャルを有する。
• ストリング側で計算されたエネルギー補正は、双対ダイポールCFTにおける異常次元として特定され、非相対論的状況下でのホログラフィー双対性の定量的検証がなされた。