[論文レビュー] On pure Yang-Mills theory in 3+1 dimensions: Hamiltonian, vacuum and gauge invariant variables

Laurent Freidel|ArXiv.org|Apr 25, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2+1次元ヤン・ミルズ理論のカラバリ・ネアール・キム（KKN）形式から、バーの「コーナー変数」を用いて3+1次元に拡張する。コーナー変数は、ウィルソン線から導かれるゲージ不変かつ局所的な変数である。変換のヤコビアンを計算し、実座標では自明であり、複素化された形では一般化されたWZW作用に類似していることが判明し、強い結合定数展開が可能になる。主な結果として、運動項の最初の局所的固有状態の構成と、次元削減を用いたストリング定数の導出がなされ、連続的強い結合定数アプローチを支持する。

ABSTRACT

In this work we discuss an analytic approach towards the solution of pure Yang-Mills theory in 3+1 dimensional spacetime which strongly suggests that the recent strategy already applied to pure Yang-Mills theory in 2+1 can be extended to 3+1 dimensions. We show that the local gauge invariant variables introduced by Bars gives a natural generalisation to any dimension of the formalism of Karabali and Nair which recently led to a new understanding of the physics of QCD in dimension 2+1. After discussing the kinematics of these variables, we compute the jacobian between the Yang-Mills and Bars variables and propose a regularization procedure which preserves a generalisation of holomorphic invariance. We discuss the construction of the QCD hamiltonian properly regularized and compute the behavior of the vacuum wave functional both at weak and strong coupling. We argue that this formalism allows the developpement of a strong coupling expansion in the continuum by computing the first local eigenstate of the kinetic part of Yang-Mills hamiltonian.

研究の動機と目的

• 2+1次元ヤン・ミルズ理論におけるカラバリ・ネアール・キム（KKN）形式の解析的枠組みを、複素解析が利用できない3+1次元に拡張すること。
• バーのゲージ不変なコーナー変数への移行において、正則対称性を保存する一貫した正則化スキームを確立すること。
• 新しい変数における適切に正則化されたハミルトニアンを構成し、弱い結合定数および強い結合定数の両領域で真空波動関数を計算すること。
• 最初の局所的固有状態が運動項に存在することを示し、連続的強い結合定数展開の可能性を実証すること。
• 固有状態解析を用いた強い結合定数領域での次元削減により、3+1次元ヤン・ミルズ理論におけるストリング定数を導出すること。

提案手法

• バーの「コーナー変数」$M_i(x)$を導入し、KKNのゲージ不変変数の一般化とし、$A_i = -\partial_i M_i M_i^{-1}$により定義する。これにより、ヤン・ミルズの配置空間の局所的パrametrizationが可能になる。
• 標準ヤン・ミルズ変数からバー変数への変換のヤコビアンを計算し、実座標では自明であり、半複素座標では一般化されたWZW作用に類似していることを示す。
• 正則対称性を保存する正則化手順を開発し、ヤコビアンの構造と自明な波動関数の正規化性を維持するために不可欠である。
• バー変数における正則化されたハミルトニアンを構成し、適切なUV挙動とシュレーディンガー表現との整合性を保証する。
• 正則化された運動項がポテンシャル項に対して対角的に作用することを示し、強い結合定数極限における固有状態解析が可能になる。
• 次元削減の議論を用いて、運動項の固有状態が3+1次元ヤン・ミルズ理論におけるストリング定数に関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KKN形式は2+1次元ヤン・ミルズ理論において複素構造に依存しているが、このような構造が存在しない3+1次元に一般化可能か？
• RQ2 標準ヤン・ミルズ変数からバーのコーナー変数への変換におけるヤコビアンは何か？また、正則不変性などの重要な対称性を保存するか？
• RQ3 バー変数形式における自明な真空波動関数は正規化可能か？これにより連続的強い結合定数展開が可能になるか？
• RQ4 バー形式における運動項の最初の局所的固有状態は計算可能か？また、真空構造とストリング定数に何を示唆するか？
• RQ5 強い結合定数領域における固有状態解析は、次元削減を用いてストリング定数を導出可能か？

主な発見

• ヤン・ミルズ変数とバー変数の間のヤコビアンは、実座標では自明であり、半複素座標では一般化されたWZW作用に類似している。これにより、自明な波動関数が正規化可能であることが保証される。
• 正則化手順は正則対称性を保存しており、これは量子理論の整合性と真空の正規化性を維持するために不可欠である。
• 正則化された運動項はポテンシャル項に対して対角的に作用し、質量次元を持つ固有値をもち、正則化切断に依存する。これにより、体系的な強い結合定数展開が可能になる。
• 運動項の最初の局所的固有状態が計算され、その構造により次元削減を用いたストリング定数の導出が可能となり、非摂動的予測が得られる。
• 強い結合定数展開の1次までで真空波動関数が計算され、2+1次元と3+1次元ヤン・ミルズ理論の間の深い類似性、特に質量ギャップの出現が示唆される。
• 結果として、3+1次元ヤン・ミルズ理論におけるコンfinementとグルーアイソンスペクトルの研究に、KKN形式が2+1次元で成功したのと同様の連続的枠組みが提供される。