[論文レビュー] On purely log terminal blow-ups

Sergey Alexsandrovich Kudryavtsev|ArXiv.org|Nov 27, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、任意の次元におけるカワマタ対数終票（klt）特異点に対して、完全に対数終票（plt）ブルー・アップの存在を確立し、シュォクゥロフの帰納的技法を $ℚ$-因子的でない場合にまで拡張する。pltブルー・アップの例外的 divisor 上の different divisor の対数正則性閾値に基づく弱く例外的特異点の基準を提示し、グローバル特異点性質を1つの例外的 divisor に還元可能にする。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of purely log terminal blow-up for Kawamata log terminal singularity and obtain the criterion for a singularity to be weakly exceptional in terms of the exceptional divisor of plt blow-up.

研究の動機と目的

• シュォクゥロフの特異点研究の帰納的技法を $ℚ$-因子的でない場合にまで拡張すること。
• $ℚ$-因子的性を仮定せずに、klt 特異点に対する完全に対数終票（plt）ブルー・アップの存在を確立すること。
• plt ブルー・アップの例外的 divisor 上の different divisor の対数正則性閾値を用いて、弱く例外的特異点の基準を提示すること。
• $ℚ$-因子的状況からの補完および例外的性に関する結果を一般状況に一般化すること。

提案手法

• $X$ 上での $K_Y + E$-MMP ステップの系列を用いて、LMMP（対数最小モデルプログラム）を用いて plt ブルー・アップを構成する。
• 対 $(X,D)$ に対して最小 dlt 変形を適用し、 $̂{Z}$ 上での $K_{̂{Z}} + ̂{E}$-MMP を実行し、単一の例外的 divisor を持つ除法的収縮を得る。
• adjunction の反転を用いて、例外的 divisor $E$ 上の different divisor $\operatorname{Diff}_E(0)$ の対数正則性閾値を分析する。
• $-(K_Y + E)$ および $-(K_E + D)$ の正則性を用い、 $E$ 上の非 klt または非 lc 対の存在を通じて非例外的性を検出する。
• 小スワップを用いて、非正則な $-E$ の場合を plt ブルー・アップと関連付け、このようなブルー・アップが plt ブルー・アップと小スワップ収縮の差異を示すことを示す。
• 補完の存在および双有理写像下での不変量の振る舞いに依拠し、弱く例外的特異点を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ が $ℚ$-因子的でない場合でも、任意の klt 特異点に対して完全に対数終票ブルー・アップが存在するか？
• RQ2 plt ブルー・アップの例外的 divisor 上の different divisor の対数正則性閾値によって、特異点の弱く例外的性が特徴付けられるか？
• RQ3 $ℚ$-因子的でない状況下で、canonical divisor のグローバル補完と plt ブルー・アップの構造の関係は何か？
• RQ4 $-E$ が $f$-正則でない場合、plt ブルー・アップと小スワップの関係は何か？

主な発見

• LMMP が成り立つ、または次元が $\leq 3$ の場合に、 $ℚ$-因子的性を仮定せずとも、任意の klt 特異点に対して plt ブルー・アップの存在が保証される。
• klt 特異点が弱く例外的であるための必要十分条件は、 $E$ 上に $-(K_E + D)$ が正則で、かつ $(E,D)$ が klt でも lc でもないような有効な ${\mathbb{Q}}$-divisor $D \geq \operatorname{Diff}_E(0)$ が存在しないことである。
• plt ブルー・アップが存在する場合、同型を除いて一意的であり、関数体に一意的な離散付値を誘導する。
• $-E$ が $f$-正則でない場合、Corollary 1.13 で示されるように、ブルー・アップは plt ブルー・アップと小スワップ収縮の差異を示す。
• 厳密に lc 特異点に対しては、補完の最小インデックスが Gorenstein インデックスに等しく、3次元ではそのインデックスは有界であるが、一般に非孤立特異点では有界でない。
• $x_1^n + \cdots + x_n^n + x_{n+1}^{n+1} = 0$ で定義される $n$ 次元の canonical 超曲面特異点は、弱く例外的ではあるが例外的ではない。これは、例外的 divisor 上に 1-補完が存在するが、それは plt でないことを示している。