[論文レビュー] On pushed wavefronts of monostable equation with unimodal delayed reaction

Karel Hası́k, Jana Kopfová+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、弱いアリー効果下で、単峰型の出生関数を有する単安定遅れ反応拡散方程式における進行波フロントの性質を調査し、小さな遅れ $h \leq h^*$ における最小波速 $c^*(h)$ の存在、および遅れの増加が波形の振動的挙動を引き起こし、従来の単調性仮定に挑戦することを示す。解析的および数値的手法を用いて、$h \leq h^*$ の場合に最小波速 $c^*(h)$ が存在することを証明し、小さな遅れではフロントの一意性と単調性を確立した。さらに、遅れの増加が波形に振動的挙動を引き起こすことが示され、従来の人口動的モデルにおける単調性仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

We study the Mackey-Glass type monostable delayed reaction-diffusion equation with a unimodal birth function $g(u)$. This model, designed to describe evolution of single species populations, is considered here in the presence of the weak Allee effect ($g(u_0)>g'(0)u_0$ for some $u_0>0$). We focus our attention on the existence of slow monotonic traveling fronts to the equation: under given assumptions, this problem seems to be rather difficult since the usual positivity and monotonicity arguments are not effective. First, we solve the front existence problem for small delays, $h \in [0,h_p]$, where $h_p$ (given by an explicit formula) is optimal in a certain sense. Then we take a representative piece-wise linear unimodal birth function making possible explicit computation of traveling fronts. In this case, we find out that a) increase of delay can destroy asymptotically stable pushed fronts; b) the set of all admissible wavefront speeds has usual structure of a semi-infinite interval $[c_*, +\infty)$; c) for each $h\geq 0$, the pushed wavefront is unique (if it exists); d) pushed wave can oscillate slowly around the positive equilibrium for sufficiently large delays.

研究の動機と目的

• 弱いアリー効果下で、単峰型の出生関数を有するマッキー・グラス型の遅れ反応拡散方程式における単調進行波フロントの存在を確立すること。
• 遅れ $h$ に依存する臨界波速 $c^*(h)$ を特定し、特に小さな遅れにおけるその依存関係を同定すること。
• 遅れの増加が押し波フロントの単調性および安定性に与える影響を調査すること。
• 許容可能な波速の集合 $C(h)$ の構造について、明示的な解析的および数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 単峰型の出生関数 $g$ を有する遅れ反応拡散方程式 $u_t = u_{xx} - u + g(u(t-h,x))$ の解析的考察。
• 波フロントの明示的計算とその挙動の分析を可能にするために、区分的線形単峰型 $g$ の使用。
• 比較技法および正値性の議論を用いて、$h \leq h^*$ の場合に単調フロントの存在および一意性を証明。
• 方程式 $1 = |g'(\kappa)| h e^h + 1$ を用いて臨界遅延閾値 $h^*$ の明示的公式を導出。
• クランク・ニコルソン法を用いた数値シミュレーションにより、理論的予測の波速および波形形状に関する妥当性を検証。
• 特性関数解析および安定性の議論を用いて、波解のスペクトル的性質を研究。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱いアリー効果下で、非単調かつ単峰型の出生関数を有する単安定遅れ方程式に対して、最小波速 $c^*(h)$ が存在するか？
• RQ2 遅れ $h$ の増加が、押し波フロントの単調性および安定性にどのように影響するか？
• RQ3 このようなモデルにおいて、許容可能な波速の集合 $C(h)$ は常に半無限区間 $[c^*(h), \infty)$ であるか？
• RQ4 大きな遅れにおいて、押し波フロントが正の平衡点 $\kappa$ のまわりで振動的挙動を示すことは可能か？
• RQ5 単調波フロントの存在が終了する臨界遅延閾値 $h^*$ は何か？

主な発見

• 遅れ $h \leq h^*$ の場合、$h^*$ は $1 = |g'(\kappa)| h e^h + 1$ で与えられ、各波速 $c \geq c^*(h)$ に対して一意の単調進行波フロントが存在する。
• 許容可能な波速の集合は半無限区間 $[c^*(h), \infty)$ であり、単安定波伝播の標準的構造を確認した。
• $h > h^*$ の場合、単調波フロントの存在は成立せず、古典的な単調性が破綻する臨界閾値であることが示された。
• 遅れが増加するにつれて、波形は正の平衡点 $\kappa$ のまわりでゆっくりと振動するようになり、$h = 6$ に対しても理論的予測と整合的である。
• 数値的シミュレーションにより、理論的最小波速 $c^*(h)$ と数値的に観測された波速 $c_{ns}(h)$ の間で良好な一致が得られ、解析的結果の妥当性が裏付けられた。
• 波フロントが存在する場合、各 $h \geq 0$ に対して一意であることが示され、モデルにおける臨界波モードの堅牢性が支持された。