[論文レビュー] On q-analog of McKay correspondence and ADE classification of sl^(2) conformal field theories

Alexander Kirillov, Viktor Ostrik|ArXiv.org|Jan 26, 2001

Advanced Algebra and Geometry被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、$U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の根の単位における有限部分群を、表現の半単純な圏における可換結合的代数を用いて圏論的に定義する。これは、$q$-アナログ版の McKay 対応を確立し、Coxeter 数 $l$ を持つ ADE ディンキン図に沿ってそのような部分群を分類する。また、レベル $k = l-2$ の $ rac{ rak{sl}}{2}$ における conformal field theory のモジュラー不変量と関連づけ、因子理論に依存しない、自己完結的な表現論的代替案を提供する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to classify ``finite subgroups in U_q sl(2)'' where $q=e^{\piı/l}$ is a root of unity. We propose a definition of such a subgroup in terms of the category of representations of U_q sl(2); we show that this definition is a natural generalization of the notion of a subgroup in a reductive group, and that it is also related with extensions of the chiral (vertex operator) algebra corresponding to sl^(2) at level k=l-2. We show that ``finite subgroups in U_q sl(2)'' are classified by Dynkin diagrams of types A_n, D_{2n}, E_6, E_8 with Coxeter number equal to $l$, give a description of this correspondence similar to the classical McKay correspondence, and discuss relation with modular invariants in (sl(2))_k conformal field theory.

研究の動機と目的

• von Neumann 代数に依存しない、$q = e^{\pi i/l}$ における $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の有限部分群の定義を、圏論的道具を用いて行う。
• $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の表現圏を用いて、古典的 McKay 対応を量子的状況に一般化する。
• このような量子部分群と、Coxeter 数 $l$ を持つ ADE ディンキン図との間の対応を確立し、$ rac{ rak{sl}}{2}$ conformal field theory のモジュラー不変量の分類と一致させる。
• 因子理論に依存しない、自己完結的で表現論的な分類証明を提供する。

提案手法

• 量子部分群を、根の単位 $q$ における $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の有限次元表現の圏 $\mathcal{C}$ における可換結合的代数として定義する。
• 単純対象 $V_0, \dots, V_k$（$k = l-2$）を持つ、半単純な商圏 $\mathcal{C}$ を用い、これはレベル $k$ の整型 $ rac{ rak{sl}}{2}$-加群と同値である。
• 代数 $A$ のモジュールの圏を、テンソル積と余不変量構成 $X \otimes_A Y = (X \otimes Y)/\operatorname{Im}(\mu_1 - \mu_2)$ を用いて構成する。
• 圏 $\mathcal{C}$ における剛性と双対性を適用し、特に非自己双対な単純モジュール $X_{2m}^{\pm}$ を含むテンソル積の構造を特定する。
• 2つの準同型の差 $\mu_1 - \mu_2$ が $k \mod 8$ に応じた符号を除き消えるという鍵となる補題を用い、テンソル積の分解を計算する。
• 得られた結合則が、$A_n$、$D_{2n}$、$E_6$、$E_8$ 型の拡張ディンキン図に一致するように、$V_1$ によるテンソル積における既約表現のグラフを照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 von Neumann 代数に依存しないで、$q = e^{\pi i/l}$ における量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の『有限部分群』をどのように定義できるか。
• RQ2 $q$-アナログ版の McKay 対応とは何か。また、$ rac{ rak{sl}}{2}$ conformal field theory の ADE 分類とどのように関係するか。
• RQ3 圏 $\mathcal{C}$ 内の可換代数 $A = \mathbf{1} \oplus \delta$ のモジュールの結合則が、なぜ ADE 型の拡張ディンキン図を再現するのか。
• RQ4 代数 $A$ 上で二つに分かれる非同型な単純モジュール $X_{2m}^{\pm}$ の区別は何か。また、$k \mod 8$ に応じてその自己双対性はどのように決まるか。
• RQ5 レベル $k = l-2$ の $ rac{ rak{sl}}{2}$-CFT におけるモジュラー不変量の分類は、この圏的構成から回復可能か。

主な発見

• 有限部分群は、$q = e^{\pi i/l}$ のもとで、$U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の表現圏を用いた ADE ディンキン図（Coxeter 数 $l$）によって分類される。
• 分類は、圏 $\mathcal{C}$ 内の可換結合的代数の同定により達成され、$k = 4m$ のとき代数 $A = \mathbf{1} \oplus \delta$ は $D_{2n}$ 型図に対応する。
• 代数 $A$ 上の単純モジュールは、$i = 1, \dots, 2m-1$ に対して $X_i = V_i \oplus V_{k-i}$ であり、さらに二つの非同型モジュール $X_{2m}^{\pm}$ が存在する。これらは $\mathcal{C}$ 内で $V_{2m}$ と同型である。
• テンソル積 $X_1 \otimes_A X_i$ は $i = 1, \dots, 2m-2$ に対して $X_{i-1} \oplus X_{i+1}$ に同型であり、$X_1 \otimes_A X_{2m-1} \simeq X_{2m-2} \oplus X_{2m}^{+} \oplus X_{2m}^{-}$ となる。これは $D_{2n}$ 型の拡張ディンキン図と一致する。
• $k \equiv 0 \mod 8$ のとき、$X_{2m}^{\pm} \otimes_A X_{2m}^{\pm} \simeq X_0 \oplus X_4 \oplus \cdots \oplus X_{2m-4} \oplus X_{2m}^{\pm}$ であり、$X_{2m}^{\pm} \otimes_A X_{2m}^{\mp} \simeq X_2 \oplus X_6 \oplus \cdots \oplus X_{2m-2}$ となる。これにより $X_{2m}^{\pm}$ の自己双対性が示される。
• $k \equiv 4 \mod 8$ のとき、$X_{2m}^{\pm} \otimes_A X_{2m}^{\pm} \simeq X_2 \oplus X_6 \oplus \cdots \oplus X_{2m-4} \oplus X_{2m}^{\mp}$ であり、$X_{2m}^{\pm} \otimes_A X_{2m}^{\mp} \simeq X_0 \oplus X_4 \oplus \cdots \oplus X_{2m-2}$ となる。これにより $X_{2m}^{\pm} \otimes_A X_{2m}^{\mp} \simeq X_{2m}^{\pm} \otimes_A X_{2m}^{\mp}$ であり、双対性 $X_{2m}^{\pm *} \simeq X_{2m}^{\mp}$ が成り立つ。