[論文レビュー] On $q$-analogues of two-one formulas for multiple harmonic sums and multiple zeta star values

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Advanced Mathematical Identities被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最近の趙による多重調和和の二項恒等式に関する研究を拡張し、多重ゼータスターバリューの二一公式の$q$-アナログを確立する。$q$-アナログの多重調和和と$q$-ゼータスターバリューを導入することで、$q \to 1$ の極限において、オーノとズディリンの古典的二一公式を回復する有限の$q$-二項恒等式を導出する。主な貢献は、構造的なインデックス文字列を伴う$\hat{\mathfrak{z}}_q[\mathbf{p};\widetilde{\mathbf{p}}]$への和として表す、新しい$q$-アナログ恒等式である。

ABSTRACT

Recently, the present authors jointly with Tauraso found a family of binomial identities for multiple harmonic sums (MHS) on strings $(\\{2\\}^a,c,\\{2\\}^b)$ that appeared to be useful for proving new congruences for MHS as well as new relations for multiple zeta values. Very recently, Zhao generalized this set of MHS identities to strings with repetitions of the above patterns and, as an application, proved the two-one formula for multiple zeta star values conjectured by Ohno and Zudilin. In this paper, we extend our approach to $q$-binomial identities and prove $q$-analogues of two-one formulas for multiple zeta star values.

研究の動機と目的

• 趙による多重ゼータスターバリューの二一公式の最近の証明を$q$-アナログ設定に拡張すること。
• $q$-二項係数と$q$-整数を用いて、多重調和和と$q$-ゼータスターバリューの$q$-アナログを開発すること。
• $\{2\}^s,1$ および $\{2\}^s,1,\{2\}^{s_{m+1}}$ の繰り返しパターンを持つ多重調和和について、有限の$q$-二項恒等式を確立すること。
• $q \to 1$ の極限において、これらの$q$-恒等式がオーノとズディリンの古典的二一公式を回復することを証明すること。

提案手法

• $q$-整数$[k]_q$と$q$-二項係数$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}$を用いて、多重調和和$H_n^\star[\mathbf{s}]$と$\mathcal{H}_n[\mathbf{s};\mathbf{t}]$の$q$-アナログを定義する。
• $q$-ゼータスターバリュー$\zeta_q^\star[\mathbf{s}]$と、有限および無限和のための2つの新しい$q$-ゼータ類似関数$\hat{\mathfrak{z}}_q[\mathbf{p};\widetilde{\mathbf{p}}]$および$\overline{\mathfrak{z}}_q[\mathbf{p};\widetilde{\mathbf{p}}]$を導入する。
• 有限の$q$-二項恒等式（定理3.2および3.3）を証明し、$H_n^\star[\{2\}^{s_1},1,\ldots,\{2\}^{s_m},1]$および$H_n^\star[\{2\}^{s_1},1,\ldots,\{2\}^{s_m},1,\{2\}^{s_{m+1}}]$を$\hat{\mathfrak{z}}_q$および$\overline{\mathfrak{z}}_q$への和へ関連付ける。
• 有限の$q$-恒等式から無限の$q$-ゼータ恒等式への遷移を正当化するための極限補題（補題4.1）を用いる。
• 極限処理を適用して、定理1.1および1.2を導出し、$q$-ゼータスターバリューを構造的なインデックス文字列を伴う$\hat{\mathfrak{z}}_q$および$\overline{\mathfrak{z}}_q$への和として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項恒等式を用いた$q$-アナログの手法により、多重ゼータスターバリューの二一公式を一般化できるか？
• RQ2 $q$-アナログの多重調和和と$q$-ゼータスターバリューは、有限および無限和においてどのように振る舞うか？
• RQ3 1で終わる文字列に対する二一公式の$q$-アナログの構造は何か？
• RQ4 $q \to 1$ の極限が、オーノとズディリンの古典的二一公式をどのように回復するか？

主な発見

• $\zeta_q^\star[\{2\}^{s_1},1,\ldots,\{2\}^{s_m},1] = \sum_{\mathbf{p}=(2s_1+1)\circ\cdots\circ(2s_m+1)} \hat{\mathfrak{z}}_q[\mathbf{p};\widetilde{\mathbf{p}}]$ という、多重ゼータスターバリューの$q$-アナログの二一公式が証明された。ここで$\circ$はコンマまたは加算を表し、$\widetilde{\mathbf{p}}$は関連する$s_i+1$の文字列である。
• $2$で終わる二一文字列に対する$q$-アナログが確立された：$\zeta_q^\star[\{2\}^{s_1},1,\ldots,\{2\}^{s_m},1,\{2\}^{s_{m+1}}] = \sum_{\mathbf{p}=(2s_1+1)\circ\cdots\circ(2s_m+1)\circ(2s_{m+1})} \overline{\mathfrak{z}}_q[\mathbf{p};\widetilde{\mathbf{p}}]$。
• 定理3.2および3.3で示された有限の$q$-二項恒等式は、それぞれ$H_n^\star[\{2\}^{s_1},1,\ldots,\{2\}^{s_m},1]$および$H_n^\star[\{2\}^{s_1},1,\ldots,\{2\}^{s_m},1,\{2\}^{s_{m+1}}]$について、再帰的推論と$q$-二項係数の恒等式を用いて証明された。
• $q$-恒等式の$q \to 1$ の極限は、オーノとズディリンの古典的二一公式を回復する：趙の研究における(33)および(34)式が確認され、既知の結果と整合することが示された。
• 有限和の$q$-二項係数の項が$n \to \infty$の極限で収束することを保証する、重要な技術的補題（補題4.1）が確立された。