[論文レビュー] On q-deformed quantum stochastic calculus

Piotr Śniady|ArXiv.org|Jul 26, 2000

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、q-変形フォック空間上に作用する変形生成、消滅、ゲージ作用素を導入することで、q-変形量子確率的積分の有界作用素枠組みを構築する。確率的積分を定義し、作用素ノルムにおける伊藤の公式を証明し、連続的な変形パラメータ q を用いてボソン的（q=1）、フェルミオン的（q=-1）、自由的（q=0）な場合を統一的に取り扱う。これにより、元来のハドソン＝パルタサラシー理論における非有界作用素に起因する技術的問題を回避する。

ABSTRACT

In this paper we investigate a quantum stochastic calculus build of creation, annihilation and number of particles operators which fulfill some deformed commutation relations. Namely, we introduce a deformation of a number of particles operator which has simple commutation relations with well known q-deformed creation and annihilation operators. Since all operators considered in this theory are bounded we do not deal with some difficulties of a non deformed theory of Hudson and Parthasarathy. We define stochastic integrals and estimate them in the operator norm. We prove Ito's formula as well.

研究の動機と目的

• ハドソン＝パルタサラシー理論における非有界作用素に起因する技術的困難を回避するため、有界作用素のみを用いた量子確率的積分の構築を目的とする。
• ボソン的、フェルミオン的、自由的統計の間を滑らかに接続するq-変形パラメータを用いた生成・消滅作用素の交換関係の一般化を目的とする。
• 作用素ノルムにおける確率的積分と伊藤の公式の定式化を目的とし、強い収束性と定義された反復積分の性質を保証する。
• ハドソン＝パルタサラシーのゲージ過程を一般化し、作用素積の正規順序化を可能にする変形ゲージ作用素と恒等的性質を持つ作用素 λ_μ および γ_μ の導入を目的とする。

提案手法

• ボジェスコ＝スピーザーの枠組みに従い、q-変形フォック空間 Γ_H を構成し、生成作用素 a(ϕ) と消滅作用素 a*(ψ) が q-交換関係 a(ϕ)a*(ψ) = q a*(ψ)a(ϕ) + ⟨ϕ,ψ⟩ を満たすようにする。
• ゲージ作用素の有界変形 λ_μ と補助的役割を果たす γ_μ 作用素を導入し、両者をフォック空間上に作用させ、正規順序化を可能にする交換関係を満たす。
• 消滅 A(t)、生成 A*(t)、ゲージ Λ_μ(t)、時間 T(t) の4つの基本過程に関する確率的積分を、左乗・右乗を扱うバイ作用素を用いて定義する。
• 一般のバイプロセスを単純な適応プロセスで近似し、作用素ノルムにおける極限をとることで、反復確率的積分の可積分性と連続性を確立する。
• 離散近似による二次変動項の弱極限を解析することで伊藤の公式を証明し、作用素ノルムにおける正しい極限への収束を示す。
• 正規順序化とヒルベルト空間埋め込み（例：U, V を通じて）を用い、複雑な作用素積を分解し、分割のメッシュがゼロに近づく極限で消える項を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハドソン＝パルタサラシー理論における非有界作用素に起因する技術的困難を回避するため、有界作用素のみを用いた量子確率的積分の構築は可能か？
• RQ2 q-変形交換関係は、ボソン的、フェルミオン的、自由的状態を1つの連続的枠組みで統一的に扱えるか？
• RQ3 有界作用素と非可換積分因子を伴うq-変形確率的積分において、正しい伊藤の公式の定式化は何か？
• RQ4 作用素ノルム収束下での確率的積分の振る舞いはいかなるものか？ また、反復積分の連続性を保証する条件は何か？
• RQ5 変形ゲージ作用素 λ_μ と恒等的性質を持つ γ_μ 作用素は、伊藤の公式の一般化と作用素積の正規順序化を可能にするか？

主な発見

• 一般の適応バイプロセスの確率的積分は作用素ノルムにおいて適切に定義され、収束性と安定性を保証する。
• 作用素ノルムにおける伊藤の公式が成立する：二次変動項は強く正しい極限に収束し、分割のメッシュがゼロに近づく極限で交差項は消える。
• a(I_i), a*(I_i), λ_μ(I_i), γ_μ が含まれる積の正規順序形式は、極限で消える項を除き、主要寄与項のみが残る。
• 変形ゲージ作用素 λ_μ と補助的 γ_μ 作用素は、交換関係を満たし、標準理論におけるウィック順序化を一般化する正規順序化を体系的に行う。
• 非可換ブラウン運動 B(t) = A(t) + A*(t) に対して、伊藤の公式により dB(t)dB(t) = dt が得られ、古典的伊藤規則と整合的である。
• 変形ポアソン過程 P_μ,l(t) = √l(γ_μ A(t) + A*(t)γ_μ) + Λ(t)/μ + ltγ_μ は、一般化された伊藤規則 dP_μ,l(t)dP_ν,l(t) = dP_μ,ν,l(t) を満たし、計算体系と整合的である。