[論文レビュー] On q-fractional derivatives of Riemann--Liouville and Caputo type

Miomir S. Stanković, Predrag M. Rajković+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2009

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックな下限を有する q 積分を用いて、リーマン–リウビルおよびキャプート型の q 分数級微分を導入し、任意の点における初期条件を可能にする。主な貢献は、これらの作用素に対して合成恒等式および半群性質を確立することであり、適切な条件下で基本的関係 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ および $ I_{q,a}^{\beta} D_{q,a}^{\beta}f = f $ が成り立つことである。

ABSTRACT

Based on the fractional $q$-integral with the parametric lower limit of integration, we define fractional $q$-derivative of Riemann-Liouville and Caputo type. The properties are studied separately as well as relations between them. Also, we discuss properties of compositions of these operators.

研究の動機と目的

• q 積分および微分の下限をパラメトリックに一般化することで、q 分数級計算を拡張すること。
• 任意の下限を有するリーマン–リウビルおよびキャプート型の q 分数級微分を定義し、それらを研究すること。
• q 分数級積分および微分作用素の合成性質および半群的挙動を確立すること。
• q 分数級微分方程式における初期条件の問題を、非ゼロの下限を許容することによって解決すること。
• 既存の q 計算法フレームワークを拡張し、任意の初期点を持つ離散系における記憶効果のモデル化を可能にすること。

提案手法

• パラメトリックな下限 $ a $ を有する q 分数級積分 $ I_{q,a}^{\beta}f $ を定義し、標準的な $ I_{q,0}^{\beta}f $ を一般化する。
• リーマン–リウビル型 q 微分 $ D_{q,a}^{\beta}f $ を、$ I_{q,a}^{1-\beta}f $ の $ \beta $ 階微分として定義する。
• 初期条件を $ a $ に設定するキャプート型 q 微分 $ {}_{\bullet}D_{q,a}^{\beta}f $ を、$ I_{q,a}^{1-\beta}f $ の q 微分を用いて定義する。
• 作用素の恒等式を表現するために、$ q $-ポッヒャー記号、$ q $-ガンマ関数、および $ q $-超幾何関数を用いる。
• 恒等式 $ S(\beta,\beta,\nu) $ および $ q $-二項係数を用いて、合成定理を証明する。
• パラメトリックな下限を有する $ q $-微分および積分作用素の再帰的適用を通じて、半群性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分の下限が変数パrameter $ a $ である場合、リーマン–リウビルおよびキャプート型の q 分数級微分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 パラメトリックな下限を有する q 分数級積分および微分の間の合成性質は何か？
• RQ3 q 積分との合成において、リーマン–リウビル型およびキャプート型の q 微分の関係は何か？
• RQ4 下限 $ a $ がゼロでない場合に、半群性質 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ が保持されるか？
• RQ5 順序 $ \alpha $ が整数である場合、合成恒等式に必要な修正は何か？

主な発見

• 関数空間に適した条件下で、恒等式 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ が成り立つ。これは、古典的な半群性質をパラメトリックな下限に拡張したものである。
• 非整数 $ \beta $ に対しては、合成 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q,a}^{\beta}f = f $ が成り立つが、$ \beta \in \mathbb{N} $ の場合には補正項が現れる。
• 整数 $ \alpha = n $ の場合、恒等式 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q}^{n}f = D_{q,a}^{n-\beta}f - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(D_{q}^{k}f)(a)}{\Gamma_{q}(\beta - n + k + 1)} x^{\beta - n + k}(a/x;q)_{\beta - n + k} $ が成り立つ。
• 非整数 $ \alpha $ に対して、合成 $ {}_{\bullet}D_{q,a}^{\alpha} I_{q,a}^{\beta}f = D_{q,a}^{\alpha - \beta}f + \sum_{k=0}^{\lceil \alpha - \beta \rceil - 1} \frac{(D_{q}^{k}f)(a)}{\Gamma_{q}(k - \alpha + \beta + 1)} x^{k - \alpha + \beta}(a/x;q)_{k - \alpha + \beta} $ が確立される。
• 不等式 $ a \leq c < x $ を満たす場合、恒等式 $ I_{q,c}^{\alpha} D_{q,a}^{\alpha}f = I_{q,c}^{\alpha - \lceil \alpha \rceil + 1} D_{q,a}^{\alpha - \lceil \alpha \rceil + 1}f - \sum_{k=1}^{\lceil \alpha \rceil - 1} \frac{(D_{q,a}^{\alpha - k}f)(c)}{\Gamma_{q}(\alpha - k + 1)} x^{\alpha - k}(c/x;q)_{\alpha - k} $ が成り立つ。これは、パラメトリックな下限へのシフト性質の一般化である。