[論文レビュー] On $Q$-operators of XXZ Spin Chain of Higher Spin

Shi-shyr Roan|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、高スピンXXZスピンチェーンに対するQ作用素を、2種類の異なる手法を用いて構成する。1つはN乗単位根q（奇数N）の場合、もう1つは一般のqの場合であり、両者ともバクスターの六頂点模型の手法を一般化したものである。主な貢献は、TQ関係を満たす明示的なQ作用素の構成であり、これにより、高スピン系における単位根対称性の関数的関係の研究が可能になる。

ABSTRACT

We provide two methods of producing the $Q$-operator of XXZ spin chain of higher spin, one for $N$th root-of-unity $q$ with odd $N$ and another for a general $q$, as the generalization of those known in the six-vertex model. In the root-of-unity case, we discuss the functional relations involving the constructed $Q$-operator for the symmetry study of the theory. The $Q$-operator of XXZ chain of higher spin for a generic $q$ is constructed by extending Baxter's argument in spin-1/2 case for the six-vertex $Q$-operator.

研究の動機と目的

• スピン1/2の場合に既に知られている高スピン（d ≥ 3）XXZスピンチェーンに対するQ作用素の構成。
• 六頂点模型および八頂点模型で用いられた関数的関係枠組みを、単位根における高スピンXXZチェーンへと拡張すること。
• 一般のqにおけるスピン1/2の場合のバクスターのQ作用素構成法を高スピン系へ一般化すること。
• 単位根の場合の関数的関係枠組みを確立し、高スピン系におけるsl2-ループ代数対称性の研究に不可欠な基盤を提供すること。
• 将来の融合行列の解析および可解格子模型における単位根の退化のより深い理解のための基盤を提供すること。

提案手法

• 奇数Nの単位根q（N乗根）の場合、[29]における六頂点模型と類似した手法を用い、局所的L作用素から構成される積ベクトルy(s|r, σ)および余ベクトルby(s|r, σ)を用いてQ作用素を構成する。
• この構成は、YB関係およびXXZ模型のR行列構造に依存しており、L作用素がUq(sl2)表現を実現する。
• 一般のqの場合、[5]におけるスピン1/2の場合のバクスターの議論を高スピンに拡張し、パラメータrおよびσℓ = ±1を用いた積状態からQ作用素を定義する。
• Q作用素QR(s)およびQL(s)は、列（行）がy(s|r, σ)（by(s|r, σ)）の線形結合である行列として定義され、これによりTQ関係が保証される。
• sとs′に関するスカラー積by(s′|er, eσ)y(s|r, σ)の対称性は、σℓのペアワイズ交換により証明され、QR(s)とQL(s)の可換性が保証される。
• Q作用素Q(s)は、非特異点s0におけるQR(s)またはQL(s)の逆作用素として定義され、TQ関係t(s)Q(s) = a(s)^L Q(qs) + a(q^{d-1}s)^L Q(q^{-1}s)を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のqにおけるスピン1/2から高スピンXXZチェーンへのQ作用素の一般化はどのように可能か？
• RQ2 qが奇数N乗単位根である場合のQ作用素の適切な構成法は何か？また、その構成は系の単位根対称性とどのように関係するか？
• RQ3 六頂点模型やキラル・ポットス模型と同様に、単位根における高スピンXXZチェーンに対してもQ作用素を含む関数的関係を導出可能か？
• RQ4 単位根における高スピンXXZチェーンで観察されるsl2-ループ代数対称性をQ作用素がどのように符号化するか？
• RQ5 ベクトルおよび余ベクトルから構成されたQ作用素どうしの関係は何か？また、それらが可逆となる条件は何か？

主な発見

• 一般のqにおける高スピンXXZチェーンのQ作用素は、バクスターのスピン1/2の場合の手法を拡張し、積状態y(s|r, σ)およびby(s|r, σ)を用いて構成される。
• 奇数Nの場合、Q作用素は六頂点模型と類似した方法で構成され、系の対称性に関する関数的関係の研究が可能になる。
• スカラー積by(s′|er, eσ)y(s|r, σ)はsとs′に関して対称であり、これによりQR(s)とQL(s)の可換性が保証され、Q作用素の定義における重要な段階が達成される。
• Q作用素Q(s)はTQ関係t(s)Q(s) = a(s)^L Q(qs) + a(q^{d-1}s)^L Q(q^{-1}s)を満たし、高スピンへのベーテのアンザッツ関数的関係の一般化が達成される。
• 構成は、非特異点s0におけるベクトルy(s|r, σ)および余ベクトルby(s|r, σ)がそれぞれ量子空間L⊗CdおよびL⊗Cd*を張ると仮定しており、これにより非特異なQ(s)が得られる。
• 構成がなされたものの、本稿では完全な関数的関係の集合（例えば八頂点模型におけるFabricius-McCoyに類似する関係）の証明は行われず、これは将来の研究のための未解決問題のまま残されている。