[論文レビュー] On q-statistical approximation of wavelets aided Kantorovich q-Baskakov operators

M. Mursaleen, P. Lamichhane+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2023

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、波形関数を用いたKantorovich型q-Baskakov作用素の重み付き統計的近似性質を、空間 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上のBohman-Korovkin型定理および重み付き滑らかさモジュラス $ω_{\rho_{\alpha}}$ を用いて調査する。リプシッツ型最大関数を用いて統計的収束速度を確立し、作用素が重み付きノルムにおいて統計的に収束することを示し、収束速度は $q$-整数および滑らかさパラメータに依存する。

ABSTRACT

The aim of this research is to examine various statistical approximation properties with respect to Kantorovich extit{ ext{ exthtq}}-Baskakov operators using wavelets. We discuss and investigate a weighted statistical approximation employing a Bohman-Korovkin type theorem as well as a statistical rate of convergence applying a weighted modulus of smoothness $ω_{ρ_α}$ correlated with the space $B_{ρα}(\mathbb{R_{+}})$ and Lipschitz type maximal functions. Both topics are covered in the article.

研究の動機と目的

• 波形関数を用いたKantorovich型q-Baskakov作用素の重み付き統計的近似挙動を分析すること。
• 空間 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上の重み付き滑らかさモジュラス $\omega_{\rho_{\alpha}}$ を用いて、統計的収束速度を確立すること。
• 古典的近似結果を波形関数に基づく局所的精錬を用いたqアナロジー設定に拡張すること。
• 数値例および図的分析を通じて収束を実証すること。
• 統計的収束速度がモーメントにおいて古典的q-Baskakov作用素と一致するが、波形関数による局所化によって改善されることを示すこと。

提案手法

• 空間 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上の重み付き統計的近似に、Bohman-Korovkin型定理を適用する。
• 収束速度を測定するために、重み付き滑らかさモジュラス $\omega_{\rho_{\alpha}}$ を用いる。
• 統計的収束における近似誤差の上限を求めるために、リプシッツ型最大関数を適用する。
• 作用素 $\mathcal{S}_{n,s,q}(x)$ のモーメント推定値を導出する。これには $\mathcal{S}_{n,s,q}(\mu_{x,\alpha}^2; x)$ および $\mathcal{S}_{n,s,q}(\phi_x^2; x)$ が含まれる。
• $q$-整数および $q$-微積分を用いて、波形関数を組み込んだKantorovich型 $q$-Baskakov作用素を定義する。
• $n \to \infty$ における漸近的挙動を分析するため、$st$-極限を用いた統計的収束を用いる。

Figure 1. convergence of the operator towards the function $\text{}(x)=(x-\frac{1}{5})(x-\frac{4}{9})$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波形関数を用いたKantorovich型q-Baskakov作用素は、どのように $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上で重み付き統計的近似を達成するか？
• RQ2 これらの作用素の統計的収束速度は何か？ また、滑らかさモジュラス $\omega_{\rho_{\alpha}}$ にどのように依存するか？
• RQ3 作用素のモーメントは、$q$-微積分下での収束挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $q$-整数および波形関数に基づく局所化を用いて、統計的収束を確立できるか？
• RQ5 滑らかさおよび $q$-パrameter依存性の観点から、古典的 $q$-Baskakov作用素と比較して収束速度はどのように異なるか？

主な発見

• $\mathcal{S}_{n,s,q}(x)$ は $n \to \infty$ のとき、重み付きノルム $\|\cdot\|_{\rho_{\alpha}}$ において $f(x)$ に統計的に収束する。
• 統計的収束速度は $3C_{\alpha}\omega_{\rho_{\alpha}}(f; \delta_n)$ で上限づけられ、ここで $\delta_n = \sqrt{1/[n]_q}$ である。
• 列 $\delta_n$ は統計的にゼロ列であるため、$st$-$\lim_{n \to \infty} \omega_{\rho_{\alpha}}(f; \delta_n) = 0$ が成り立つ。
• モーメント推定値より、$\mathcal{S}_{n,s,q}(\mu_{x,\alpha}^2; x) \leq \frac{1}{[n]_q} \|e_2\|_{\rho_{\alpha}} + \frac{3}{[n]_q} \|e_2\|_{\rho_{\alpha}}$ が得られる。
• 図的例は、$n = 10, 30, 60, 80$ における $f(x) = (x-1/5)(x-4/9)$、$f(x) = x^2 - 1$、$f(x) = x^2 - 4x + 3$ に対して収束を確認している。
• 近似挙動は古典的 $q$-Baskakov作用素のモーメントと一致するが、波形関数による局所的精錬により改善されている。

Figure 2. convergence of the operator towards the function $\text{}(x)=x^{2}-1$