[論文レビュー] On Quadratic Embedding Constants of Star Product Graphs

Wojciech Młotkowski, Nobuaki Obata|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、星積グラフ $G = G_1 \star \cdots \star G_r$ の2次埋め込み定数（QEC）の暗黙的公式を導出しており、成分グラフのQECと特定の代数方程式の解との間の関係を確立している。主な結果として、$\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}) = \mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+) = -\frac{1}{2}$ が、有限路グラフ $P_n$ における極限の議論によって得られ、解析に用いられた組合せ恒等式から新たな整数列が生じている。

ABSTRACT

A connected graph $G$ is of QE class if it admits a quadratic embedding in a Hilbert space, or equivalently if the distance matrix is conditionally negative definite, or equivalently if the quadratic embedding constant $\mathrm{QEC}(G)$ is non-positive. For a finite star product of (finite or infinite) graphs $G=G_1\star\dotsb \star G_r$ an estimate of $\mathrm{QEC}(G)$ is obtained after a detailed analysis of the minimal solution of a certain algebraic equation. For the path graph $P_n$ an implicit formula for $\mathrm{QEC}(P_n)$ is derived, and by limit argument $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z})=\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+)=-1/2$ is shown. During the discussion a new integer sequence is found.

研究の動機と目的

• 星積グラフ $G_1 \star \cdots \star G_r$ の2次埋め込み定数（QEC）の定量的推定を確立すること。
• 成分グラフから導かれるパラメータを含む代数方程式の最小解を分析すること。
• 有限路グラフ $P_n$ に対する $\mathrm{QEC}(P_n)$ の暗黙的公式を導出すること。
• 有限路グラフ $P_n$ における極限プロセスを用いて、無限路グラフ $\mathbb{Z}_+$ および $\mathbb{Z}$ のQECを計算すること。

提案手法

• 成分グラフから導かれるパラメータ $a_j$ および $d_j$ を含む代数方程式 $\sum_{j=1}^{r}\frac{d_j}{a_j d_j + a_j - \lambda} = \frac{1}{\lambda}$ の最小解を分析する。
• 制約条件の下での2次形式 $\phi(x_0, \mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_r)$ の条件付き最小値と、代数方程式の最小解との関係を確立する。
• スペクトル的および変分的技法を用いて、星積グラフのQECと代数方程式の解との関連を関係づける。
• 有限路グラフ $P_n$ における極限の議論を適用し、$\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+)$ および $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z})$ を計算する。
• QEC$(P_n)$ の推定に用いられる、$\min\{i,j\}$、$i(n-i)$、および符号の交互に現れる項を含む組合せ恒等式を導出する。
• 組合せ和 $\sum_{i,j=1}^n \min\{i,j\} \, i(n-j)j(n-j)(-1)^{i+j}$ から生じる新たな整数列 $a_n$ を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 星積グラフ $G_1 \star \cdots \star G_r$ の2次埋め込み定数（QEC）は、その成分のQECを用いてどのように表現できるか？
• RQ2 有限路グラフ $P_n$ に対して、$\mathrm{QEC}(P_n)$ の暗黙的公式を導出できるか？
• RQ3 1方向無限路 $\mathbb{Z}_+$ および2方向無限路 $\mathbb{Z}$ のQECの値は何か？
• RQ4 QEC$(P_n)$ の推定に用いられる組合せ恒等式は、既知の整数列とどのように関係しているか？
• RQ5 パスグラフのQEC推定の組合せ構造から新たな整数列が生じるか？

主な発見

• 無限路グラフ $\mathbb{Z}_+$ のQECは $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+) = -\frac{1}{2}$ であり、$n \to \infty$ のときの $\mathrm{QEC}(P_n)$ の極限として得られた。
• 2方向無限路 $\mathbb{Z}$ のQECは $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}) = -\frac{1}{2}$ であり、同じ極限議論によって確立された。
• 代数方程式 $\sum_{j=1}^{r}\frac{d_j}{a_j d_j + a_j - \lambda} = \frac{1}{\lambda}$ の最小解を用いて、$\mathrm{QEC}(P_n)$ の暗黙的公式が導出された。
• QEC推定における組合せ和から、新たな整数列 $a_n = \frac{n}{240}\{2n^4 + 20n^2 - 7 + 15(-1)^n\}$ が生じた。
• 列 $a_n$ は列 $b_n = \lceil n^2/2 \rceil$ と自身との畳み込みであることが示され、その母関数は $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n = \frac{z^2(1+z^2)^2}{(1+z)^2(1-z)^6}$ である。
• 制約条件の下での2次形式の条件付き最小値が、主要な代数方程式の最小解と一致することが証明され、星積グラフのQECの変分的特徴づけが得られた。